Zbiór pusty: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Zastępowanie przestarzałej składni LaTeX zgodnie z mw:Extension:Math/Roadmap |
|||
Linia 1:
{{znak|∅}}
'''Zbiór pusty''' – [[zbiór]] niezawierający żadnych elementów; oznaczany symbolami ∅, <math>\empty,</math>
W [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|teorii mnogości Zermela-Fraenkla]] istnienie zbioru pustego jest zagwarantowane przez [[aksjomat zbioru pustego]], a jego jedyność wynika z [[aksjomat ekstensjonalności|aksjomatu ekstensjonalności]].
Linia 6:
== Własności ==
* Zbiór pusty jest [[podzbiór|podzbiorem]] każdego zbioru:
*: <math>\forall A: \varnothing \subseteq A
: bo zgodnie z definicją
:: <math>\forall x: (x \in \varnothing \implies x \in A).</math>
: Prawdziwość powyższej implikacji wynika z reguły ''[[ex falso sequitur quodlibet|z fałszu wynika wszystko]]''.
* [[suma zbiorów|Suma]] dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równa zbiorowi A:
Linia 18:
* Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest zbiór pusty:
*: <math>\forall A: (A \subseteq \varnothing \implies A = \varnothing)</math>
: Oznacza to, że [[zbiór potęgowy]] zbioru pustego zawiera jeden element, czyli zbiór pusty.
* [[Moc zbioru]] pustego wynosi 0:
*: <math>\left\vert \varnothing \right\vert = 0</math>
* Dla dowolnego zbioru A zbiór pusty jest [[Relacja (matematyka)|relacją]] w A zwaną [[relacja pusta|relacją pustą]].
* Dla dowolnego zbioru A można określić funkcję <math>f:\varnothing \to A,</math>
* Jeżeli <math>F(x)</math> jest dowolną [[funkcja zdaniowa|funkcją zdaniową]], to prawdą jest, że:
*: <math>\forall x \in \varnothing: ( F(x) \land \lnot F(x) )</math>
Linia 33:
== Bibliografia ==
[[Kategoria:Teoria mnogości]]
| |||