Wersja z 03:26, 11 kwi 2019 edytuj Tomasz59 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 5494 edycje Dodano definicje grupy fundamentalnej i nakrywającej grupy SO(3). Znacznik: VisualEditor ← poprzednia edycja		Wersja z 03:31, 11 kwi 2019 edytuj anuluj edycję Tomasz59 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 5494 edycje m →‎Inne reprezentacje Znacznik: VisualEditor następna edycja →
Linia 52: nazywa się '''stałymi struktury''' grupy, ponieważ (prawie) zupełnie determinują strukturą multiplikatywną grupy (tj. wyniki mnożenia elementów grupy przez siebie). Generatory razem z relacjami komutacji definiują [[Algebra Liego\|algebrę Liego]] <math>SO(3).\,</math> === Zwartość grupy SO(3) === ~~('''5''')~~ Grupa <math>SO(3)</math> jest '''grupą zwartą''', tzn. parametry <math>z_1,z_2,z_3</math> należą do [[Przestrzeń zwarta\|zbioru zwartego]] <math>\Omega\subset R^3,</math> przy czym▼ : <math>z^a=\omega^a \psi,</math>▼ gdzie:▼ : <math>\omega^1=\sin\theta \sin\phi,</math> <math>\omega^2=\sin\theta \cos\phi,</math> <math>\omega^3=\cos\theta</math>▼ : – współrzędne kartezjańskie wektora jednostkowego, skierowanego wzdłuż osi obrotu,▼ : <math>\psi</math> – kąt obrotu wokół tej osi▼ : oraz▼ :<math>\theta\,\in \langle 0, \pi\rangle, \phi\in\langle 0, 2\pi\rangle,</math> <math>\psi\,\in\langle 0, 2\pi\rangle.</math>▼ === Reprezentacja fundamentalna === Linia 58 ⟶ 71: ('''2''') Wybór generatorów nie jest unikalny - można znaleźć inne macierze 3 x 3, które spełniają te same warunki komutacji. === Inne reprezentacje grupy SO(3) === Oprócz reprezentacji fundamentalnej istnieją inne reprezentacje grupy: generatory tych reprezentacji spełniają te same warunki komutacji, jak generatory reprezentacji fundamentalnej, ale są macierzami wymiaru 1, 2, 4, 5, itd. ~~'''~~=== Reprezentacja nakrywająca~~'''~~ SU(2) grupy SO(3) === Istnieje też tzw. reprezentacja nakrywająca, której generatorami są [[macierze Pauliego]] mnożone przez 1/2 - spełniają te same warunki komutacyjne, co generatory reprezentacji fundamentalnej: Linia 82 ⟶ 94: : <math>[\tau_a, \tau_b] =i\sum_c\,\epsilon_{a b c}\,\tau_c </math> Generatory te generują poprzez eksponentę, zależną od 3 parametrów rzeczywistych <math>z_1,z_2,z_3</math> :<math>U(z_1,z_2,z_3) = \exp\left[{i\sum_{a=1}^3 \tau_a\, z_a}\right],</math> ~~:<math>z_1,z_2,z_3</math>- parametry rzeczywiste,~~ [[Specjalna grupa unitarna\|grupę specjalnych macierzy unitarnych]] SU(2) wymiaru 2 x 2. Przy czym każdej macierzy ortogonalnej grupy SO(3) odpowiadają jednoznacznie dwie macierze unitarne grupy SU(2) - stąd nazwa "reprezentacja nakrywająca". ▲('''5''') Grupa <math>SO(3)</math> jest '''grupą zwartą''', tzn. parametry <math>z_1,z_2,z_3</math> należą do [[Przestrzeń zwarta\|zbioru zwartego]] <math>\Omega\subset R^3,</math> przy czym ▲: <math>z^a=\omega^a \psi,</math> ▲gdzie: ▲: <math>\omega^1=\sin\theta \sin\phi,</math> <math>\omega^2=\sin\theta \cos\phi,</math> <math>\omega^3=\cos\theta</math> ▲: – współrzędne kartezjańskie wektora jednostkowego, skierowanego wzdłuż osi obrotu, ▲: <math>\psi</math> – kąt obrotu wokół tej osi ▲: oraz ▲:<math>\theta\,\in \langle 0, \pi\rangle, \phi\in\langle 0, 2\pi\rangle,</math> <math>\psi\,\in\langle 0, 2\pi\rangle.</math> == Algebra Liego grupy SO(n) ==

Grupa obrotów: Różnice pomiędzy wersjami