Rozmaitość liniowa: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 17 bajtów ,  1 rok temu
m
m (Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy)
m (WP:SK+Bn)
'''Rozmaitość liniowa''' – [[zbiór]] [[punkt (geometria)|punktów]] [[przestrzeń afiniczna|przestrzeni afinicznej]] <math>\mathfrak{U}</math> rozpiętej nad [[przestrzeń liniowa|przestrzenią wektorową]] <math>\mathbb{V}</math> zdefiniowany następująco
: <math>M_0+\mathbb{W}:=\{ M_0 + w : w\in\mathbb{W} \},</math>,
 
dla pewnego punktu <math>M_0\in \mathfrak{U}</math> i pewnej [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzeni wektorowej]] <math>\mathbb{W}< \mathbb{V}</math><ref name=definicja>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 227, Definicja 12.8'''.</ref>.
'''Wymiarem rozmaitości''' nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej.
 
Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma [[wymiar (matematyka)#Wymiar przestrzeni liniowej|wymiar]] ''<math>m'',</math> to o rozmaitości mówi się '''Rozmaitość liniowa ''<math>m''</math>-wymiarowa'''<ref name=wymiary>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 227'''.</ref>.
 
Rozmaitość z przestrzenią kierunkową <math>\mathbb{W},</math>, dla której
* <math>\dim\mathbb{W}=1</math> nazywa się ''[[prosta|prostą]]'',
* <math>\dim\mathbb{W}=2</math> nazywa się ''[[płaszczyzna|płaszczyzną]]'':,
* <math>\dim\mathbb{W}=\dim\mathbb{V}-1</math> nazywa się ''[[hiperpłaszczyzna|hiperpłaszczyzną]]<ref name=wymiary />'':.
 
== Przykłady rozmaitości liniowych ==
: Przestrzeń afiniczna jest rozmaitością liniową, której przestrzeń kierunkową stanowi przestrzeń wektorowa, nad którą rozpięta jest przestrzeń afiniczna, a punktem początkowym – dowolny punkt tej przestrzeni afinicznej<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 227, Przykład 1)'''.</ref>;
* ''rozmaitość zerowymiarowa'':
: Jeśli <math>M_0\in\mathfrak{U},</math>, to rozmaitość <math>M_0+\{0\}=\{M_0\}.</math>. Zatem rozmaitość jest zerowymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednopunktowa<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 227, Przykład 2)'''.</ref>
[[Plik:Af.png|thumb|Proste równoległe]]
* ''proste [[równoległość|równoległe]]'':
: Niech <math>\mathfrak{U}</math> będzie [[układ współrzędnych kartezjańskich|płaszczyzną kartezjańską]]. Rozpatrzmy przestrzeń afiniczną <math>\mathfrak{U}</math> rozpiętą nad <math>\mathbb{R}^2.</math>. Niech <math>\mathbb{W}</math> będzie jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni liniowej <math>\mathbb{R}^2.</math>. Niech <math>M_0</math> będzie punktem płaszczyzny <math>\mathfrak{U}.</math>. Wtedy <math>M_0+\mathbb{W}</math> to prosta równoległa do prostej <math>0+\mathbb{W},</math>, gdzie <math>0</math> to początek układu współrzędnych<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 228, Przykład 3)'''.</ref> (patrz: rysunek obok).
 
== Rozmaitości liniowe a przestrzenie afiniczne ==
 
==== Dowód lematu ====
Jeśli <math>M\in M_0+\mathbb{W},</math>, to <math>M_0+\mathbb{W}=M+\mathbb{W}.</math>. Zatem <math>N\in M+\mathbb{W}</math> i istnieje taki wektor <math>\mathfrak{m}\in\mathbb{W},</math>, dla którego <math>N=M+\mathfrak{m}.</math>. Stąd wynika, że <math>\overrightarrow{MN}=\mathfrak{m}\in\mathbb{W}</math><ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 228, Twierdzenie 12.8 – Dowód'''.</ref>.
 
=== Twierdzenie ===
 
==== Dowód twierdzenia ====
Jeśli <math>M\in M_0+\mathbb{W},</math>, to <math>M+\mathbb{W}=M_0+\mathbb{W}.</math>. Stąd:
: <math>\forall_{\mathfrak{v}\in\mathbb{W}}\forall_{M\in M_0+\mathbb{W}} M+\mathfrak{v}\in M_0+\mathbb{W}.</math>.
Rozważmy funkcję <math>\mathfrak{f}\colon\mathfrak{U}\times\mathbb{V}\to\mathfrak{U}</math> taką, że:
: <math>\mathfrak{f}\colon (N,x)\mapsto N+x.</math>.
Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność:
: <math>\mathfrak{f}\colon (M_0+\mathbb{W})\times\mathbb{W}\to M_0+\mathbb{W}</math><ref name=proof>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 228, Twierdzenie 12.9 – Dowód'''.</ref>.
co oznacza, że <math>\mathfrak{f}</math> spełnia I aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]]<ref name=proof />.
 
Z kolei jeśli <math>N,P\in M_0+\mathbb{W},</math>, to na mocy lematu<ref name=lemat /> otrzymujemy <math>\overrightarrow{NP}\in\mathbb{W}.</math>. A stąd
: <math>\mathfrak{f}(N,\overrightarrow{NP})= N+\overrightarrow{NP}=P.</math>.
 
Czyli funkcja <math>\mathfrak{f}</math> spełnia III aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]]<ref name=proof />.
 
Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję<ref>Np. ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'' (Jefimow, Rozendorn).</ref>:
 
Rozmaitość liniowa <math>M_0+\mathbb{W}</math> jest '''równoległa''' do rozmaitości liniowej <math>N_0+\mathbb{T},</math>, gdy <math>\mathbb{W}</math> jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej <math>\mathbb{T},</math>, tzn. gdy <math>\mathbb{W}<\mathbb{T}.</math>.
 
Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny<ref name=kom>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 228, Twierdzenie 12.10 (1)'''.</ref>.
 
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia<ref>[[:en:Nikolai Efimov|N. Jefimow]], E. Rozendorn, ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'', wyd. II, Warszawa, 1976.</ref>.
 
W niektórych żródłach<ref>[[Karol Borsuk|K. Borsuk]], ''Geometria analityczna wielowymiarowa'', wyd. V, Warszawa 1976.</ref> tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się ''równoległością'', a zdefiniowaną wyżej ''ścisłą równoległością''.