Kwantowanie (fizyka): Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
m drobne redakcyjne
Linia 9:
 
Zgodnie z definicją nawiasy Poissona dla zmiennych kanonicznych wynoszą odpowiednio (<math>k</math> i <math>l</math> indeksują zmienne kanoniczne)
: <math>\{q_l,q_k\} = 0,</math>
: <math>\{p_l,p_k\} = 0,</math>
: <math>\{q_l,p_k\} = \delta_{lk}.</math>
 
Kwantowanie kanoniczne polega na zmianie zmiennych kanonicznych na operatory oraz nawiasów Poissona na komutatory
Linia 18:
czyli
: <math>\hat H = H(\hat q, \hat p, t),</math>
: <math>[\hat q_l,\hat q_k] = 0,</math>
: <math>[\hat p_l,\hat p_k] = 0,</math>
: <math>[\hat q_l,\hat p_k] = i \hslash\delta_{lk}.</math>
 
Popularnym sposobem kwantyzacji jest wprowadzenie [[funkcja falowa|funkcji falowej]]. Korzysta się z faktu, że na przestrzeni funkcji <math>\Psi(q)</math> można wprowadzić operatory
Linia 29:
 
==== Przykład nierelatywistycznej cząstki swobodnej ====
Klasyczny hamiltonian opisujący taką cząstkę ma postać <math>H = \frac{1}{2m}{\vec p}^{\,2}.</math> Odpowiadający mu kwantowy operator to <math>\hat H = -\frac{\hslash^2}{2m}\Delta.</math> Szukając stanu kwantowego o ustalonej wartości energii, rozwiązujemy równanie
: <math>-\frac{\hslash^2}{2m}\Delta\Psi(\vec x) = E\Psi(\vec x).</math>
 
Linia 35:
: <math>-i\hslash\vec\nabla\Psi(\vec x) = \vec k\Psi(\vec x).</math>
 
Rozwiązując te równania, znajdujemy
: <math>\Psi(\vec x) = N e^{\frac{i\vec k\cdot\vec x}{\hslash}},</math>
: <math>E = \frac{1}{2m}{\vec k}^{\,2}.</math>
 
W tym przypadku kwantowy związek między energią i pędem jest taki sam jak klasyczny.