Otwórz menu główne

Zmiany

Dodane 283 bajty ,  3 miesiące temu
m
 
== Definicja ==
'''Powinowactwo osiowe''' ''<math>f''</math> o osi ''<math>k''</math> jest to takie [[przekształcenie afiniczne]] na płaszczyźnie, w którym prosta ''<math>k''</math> jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.
 
Równoważna definicja: [[Przekształcenie geometryczne|Odwzorowanie geometryczne]] ''<math>f''</math> na płaszczyźnie nazywamy '''powinowactwem osiowym''' o osi ''<math>k'',</math> jeżeli każda prosta nierównoległa do prostej ''<math>k''</math> i jej obraz pokrywają się lub przecinają się w punkcie leżącym na osi ''<math>k''.</math>
 
[[Wektor]] powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi ''<math>k''{:}</math> dowolny punkt ''<math>A''</math> i jego obraz punkt ''<math>A'''. </math>
 
[[Kierunek]] powinowactwa jest zbiór wszystkich prostych równoległych do wektora powinowactwa.
 
Stosunek powinowactwa jest to liczba ''<math>s''</math> spełniająca warunek: <math>\vec{A_P'A'}=s\cdot\vec{A_PA},</math>, gdzie punkty ''A<submath>PA_P</submath>'' i ''<math>A'<sub>P_P</submath>'' są rzutami prostokątnymi punktu ''<math>A''</math> i jego obrazu ''<math>A'''</math> na oś ''<math>k''.</math>
 
== Własności ==
* dlaDla dowolnych punktów ''<math>A''</math> i ''<math>B''</math> nie będących [[Punkt stały|punktami stałymi]] powinowactwa osiowego ''<math>f''</math> proste ''<math>Af(A)''</math> i ''<math>Bf(B)''</math> są równoległe.
* jeśliJeśli wektor powinowactwa jest zerowy <math>(''A=A'''),</math> to powinowactwo osiowe staje się przekształceniem tożsamościowym.
* jedynymiJedynymi punktami stałymi w powinowactwie osiowym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa ''<math>k''.</math>
* jedynymiJedynymi prostymi stałymi powinowactwa osiowego nietożsamościowego jest oś powinowactwa ''<math>k''</math> i wszystkie proste równoległe do kierunku powinowactwa.
* powinowactwoPowinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa ''<math>k''</math> i wektor powinowactwa.
* powinowactwoPowinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa ''<math>k'',</math> kierunek powinowactwa oraz stosunek powinowactwa ''<math>s''</math> różny od 1.
 
== Fakty ==
 
Rodzaje powinowactwa osiowego:
* powinowactwo prostokątne - kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi powinowactwa,
* powinowactwo ścinające (ścięcie) - kierunek powinowactwa jest równoległy do osi powinowactwa,
* [[symetria skośna]] - środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa,
* [[symetria osiowa]] - kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi i środek wektora leży na osi.
 
Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.
 
== Zobacz też ==
* [[jednokładność]]
* [[izometria]]
* [[grupa (matematyka)|grupa]]
* [[homeomorfizm]]
* [[izometria]]
* [[jednokładność]]
 
== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Bednarczuk |imię = Jerzy |tytuł = Urok przekształceń afinicznych |wydawca = Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne |miejsce = Warszawa |rok = 1978}}
 
[[Kategoria:Przekształcenia geometryczne]]