Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja nieprzejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne
Konradek (dyskusja | edycje)
m poprawa linków
Linia 1:
'''Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości''' – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące, że prawie każdy punkt mierzalnego podzbioru przestrzeni euklidesowej jest jego punktem gęstości. „Prawie” oznacza tu, że punkty nie będące punktami gęstości mogą istnieć, ale tworzą [[zbiór miary zero|zbiór o mierze zero]].
 
W klasycznym przypadku [[miara Lebesgue’a|miary Lebesgue’a]] dowód twierdzenia Lebesgue’a wykorzystuje [[twierdzenie Vitaliego o pokryciu|twierdzenie Vitalego o pokryciu]], w przypadku ogólniejszych [[miara Radona|miar Radona]] wykorzystuje się stosowne dla nich uogólnienie wspomnianego twierdzenia: [[twierdzenie Bezikowicza o pokryciu]].
 
== Oznaczenia i pojęcia wstępne ==
Niech <math>Z</math> będzie sumą niepustej rodziny [[Przedział wielowymiarowy|przedziałów ''N''-wymiarowych]] (z [[twierdzenie VitaliegoVitalego o pokryciu|twierdzenia VitaliegoVitalego]] wynika, że jest on zbiorem mierzalnym). Niech <math>F</math> będzie funkcją określoną na rodzinie wszystkich [[Przedział wielowymiarowy|kostek ''N''-wymiarowych]] zawartych w zbiorze <math>Z</math> i przyjmującą wartości w zbiorze <math>\overline{\mathbb{R}}</math> oraz punkt <math>x_0\in Z</math>. Niech dany będzie również zbiór
: <math>W=\{y\in \overline{\mathbb{R}}\colon\, y=\lim_{n\to\infty}F(Q_n),\, (Q_n)_{n\in \mathbb{N}}\}</math>,
gdzie <math>(Q_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> jest pewnym ciągiem kostek zawartych w zbiorze <math>Z</math> takich, że <math>x\in Q_n\, n\in \mathbb{N}</math> oraz