Twierdzenie Stokesa: Różnice pomiędzy wersjami

: <math>\oint\limits_{\partial \Sigma}\vec{F}d(\vec{\partial \Sigma}) = \iint\limits_\Sigma\textoperatorname{rot}\vec{F}d\vec{\Sigma}.</math>

: <math>\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \oint\limits_{\partial D}(P\circ r)(x'_s ds + x'_t dt).</math>

(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych <math>Q</math> i <math>R</math>).

: <math>\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \iint\limits_D\left(\frac{\partial}{\partial s}((P\circ r)x'_t)-\frac{\partial}{\partial t}((P\circ r)x'_s)\right)ds\,dt.</math>

: <math>\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \iint\limits_D\left(\frac{\partial P}{\partial y}(x'_t y'_s - x'_s y'_t)+\frac{\partial P}{\partial z}(x'_t z'_s - x'_s z'_t)\right)ds\,dt.</math>

: <math>\oint\limits_{\partial \Sigma}\vec{F}d(\vec{\partial \Sigma})=\iint\limits_D(\textoperatorname{rot}F(s,t))\circ \vec{n}(s,t) ds\,dt,</math>

gdzie <math>\vec{n}(s,t) = r'_s \times r'_t.</math>

Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego <math>\textoperatorname{rot}F</math> przez płat <math>\Sigma.</math> Co daje tezę.

Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla ''<math>n''</math>-wymiarowych powierzchni gładkich.

Załóżmy, że <math>H\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest orientowalną powierzchnią gładką, <math>K\subseteq H</math> jest [[przestrzeń zwarta|zbiorem zwartym]] oraz <math>K=\textoperatorname{cl \,Int}K</math> oraz, że brzeg <math>\textmathrm{Fr}K</math> jest <math>(''M''\!-\!1)</math>-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli <math>W\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest [[zbiór otwarty|zbiorem otwartym]] zawierającym powierzchnię <math>H,</math> <math>\Omega\colon W\to S^{M-1}(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})</math> jest [[Forma różniczkowa|formą]] klasy <math>C^1,</math> a <math>\sigma</math> jest orientacją powierzchni <math>H,</math> to

: <math>\int\limits_{[K]_\sigma}d\Omega = \int\limits_{[\scriptstyle{\rmmathrm{Fr}}K]_{\sigma^{\scriptstyle{\rmmathrm{Fr}}}}}\Omega,</math>

gdzie orientacja <math>\sigma^{\rm{Fr}}</math> powierzchni <math>\textmathrm{Fr}K</math> dana jest wzorem

: <math>\sigma^{\scriptstyle{\rmmathrm{Fr}}}(y)=\{(a_1, \ldotsdots, a_{M-1})\in B_{(\scriptstyle{\rmmathrm{Fr}}K)_y}\colon\, (z(y), a_1, \ldotsdots, a_{M\!-\!1})\in \sigma(y)\}</math>

dla <math>y\in \textmathrm{Fr}K,</math> a

: <math>z\colon \textmathrm{Fr}K\to \mathbb{R}^N</math>

jest taką funkcją, że <math>z(y)</math> jest wektorem zewnętrznym do zbioru <math>K</math> w punkcie <math>y,</math> <math>|z(y)|=1,</math> <math>z(y)</math> jest wektorem normalnym do powierzchni <math>\textmathrm{Fr}K</math> w punkcie <math>y</math> dla każdego <math>y\in \textmathrm{Fr}K.</math>

Załóżmy, że <math>W\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest zbiorem otwartym, ''<math>K'' ⊆\subseteq ''W''</math> zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg <math>\mathrm{Fr ''}K''</math> jest <math>(''N''\!-\!1)</math>-wymiarową powierzchnią gładką oraz

: <math>z\colon \textmathrm{Fr}K\to\mathbb{R}^N</math>

* ''<math>z''(''y'')</math> jest wektorem zewnętrznym do ''<math>K''</math> w punkcie ''<math>y'',</math>

* <math>|''z''(''y'')| = 1,</math>

* ''<math>z''(''y'')</math> jest wektorem normalnym do <math>\mathrm{Fr ''}K''</math> w punkcie ''<math>y''</math> leżącym na brzegu <math>\mathrm{Fr ''}K''.</math>

: <math>\int\limits_{\scriptstyle{\rmmathrm{Fr}(K)}}\omega(y)z(y)\mu_{\scriptstyle{\rmmathrm{Fr}}}(dy)=\int\limits_K\textoperatorname{div} \omega(y)dy,</math>

gdzie <math>\textoperatorname{div}</math> oznacza operator [[dywergencja|dywergencji]].

Załóżmy, że <math>W\subseteq \mathbb{R}^2</math> jest zbiorem otwartym, <math>K\subset W</math> jest zbiorem zwartym takim, że <math>K=\textoperatorname{cl \,Int}K</math> oraz brzeg <math>\textmathrm{Fr}K</math> jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto

: <math>s\colon \textmathrm{Fr}K\to \mathbb{R}^2</math>

* <math>s(y)</math> jest wektorem stycznym do krzywej <math>\textmathrm{Fr}K</math> w punkcie <math>y,</math>

* <math>|s(y)|=1,</math>

* <math>\det[z(y), s(y)]>0,.</math>

: <math>\int\limits_{\scriptstyle{\rmmathrm{Fr}(K)}}\omega(y)s(y)\mu_{\scriptstyle{\rmmathrm{Fr}}}(dy)=\int\limits_K(\omega_{2|1}(y)-\omega_{1|2}(y))dy.</math>