Twierdzenie Talesa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Usuwam słabą sekcję z przypadkowymi twierdzeniami, źródło też takie sobie i przenoszę je do sekcji z linkami zewnętrznymi. |
łączę w jedną sekcję twierdzenie T. i odwrotne do niego |
||
Linia 4:
'''Twierdzenie Talesa''' – jedno z ważniejszych twierdzeń [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]]. Tradycja przypisuje jego sformułowanie [[Tales z Miletu|Talesowi z Miletu]]<ref name=":0">{{Cytuj|tytuł=Twierdzenie Talesa|data dostępu=2017-06-25|opublikowany=Naukowiec.org|url=http://www.naukowiec.org/wzory/matematyka/twierdzenie-talesa_564.html|język=pl}}</ref><ref name=":1">{{Cytuj|tytuł=Twierdzenie Talesa|data dostępu=2017-06-25|opublikowany=www.math.edu.pl|url=http://www.math.edu.pl/twierdzenie-talesa}}</ref>
==
Jeżeli ramiona [[kąt]]a przetniemy dwiema [[Równoległość|prostymi równoległymi]], to odpowiednie [[odcinek|odcinki]] wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są [[proporcjonalność prosta|proporcjonalne]] do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta<ref name=":0" /><ref name=":1" />.
Linia 12:
lub po przekształceniu: <math>\frac{|AE|}{|EC|}=\frac{|AD|}{|DB|}</math> oraz <math>\frac{|AE|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|},</math> a także <math>\frac{|AC|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|DB|}</math><ref name=":0" /><ref name=":1" />.
Zachodzi również następujące odwrotne twierdzenie.
Niech ramiona kąta o wierzchołku ''A'' przecięte są dwiema prostymi ''BC'' i ''DE'', przy czym punkty ''B'', ''D'' należą do jednego ramienia kąta, punkty ''C'', ''E'' do drugiego<ref name=":1" />.<br />Jeśli zachodzi:▼
: <math>\frac{|AE|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|},</math>▼
to proste ''BC'' i ''DE'' są równoległe<ref name=":1" />.▼
; Uwaga.<br />▼
Gdyby warunek w założeniu zastąpić np. następującym:▼
: <math>\frac{|AE|}{|EC|}=\frac{|AD|}{|DB|},</math>▼
to założenia należałoby uzupełnić o informacje o [[geometria uporządkowania|uporządkowaniu]] punktów. Np.:▼
: ''punkt D leży między punktami A, B; punkt E leży między punktami A, C.''▼
== Dowód ==
Linia 42 ⟶ 57:
Aby ustrzec się [[błędne koło w rozumowaniu|błędnego koła]] twierdzenie Talesa można dowieść korzystając z przejścia granicznego i dobrze określonej [[miara (matematyka)|miary]] (np. [[miara Lebesgue’a|Lebesgue’a]] na płaszczyźnie): stosunkowo łatwy jest dowód, gdy <math>\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} = 1,</math> podobnie gdy podzieli się odcinki w stosunku wymiernym, przypadek niewymierny dowodzi się przez przybliżenia za pomocą przejścia granicznego.
▲== Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa ==
▲Niech ramiona kąta o wierzchołku ''A'' przecięte są dwiema prostymi ''BC'' i ''DE'', przy czym punkty ''B'', ''D'' należą do jednego ramienia kąta, punkty ''C'', ''E'' do drugiego<ref name=":1" />.<br />Jeśli zachodzi:
▲: <math>\frac{|AE|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|},</math>
▲to proste ''BC'' i ''DE'' są równoległe<ref name=":1" />.
▲; Uwaga.<br />
▲Gdyby warunek w założeniu zastąpić np. następującym:
▲: <math>\frac{|AE|}{|EC|}=\frac{|AD|}{|DB|},</math>
▲to założenia należałoby uzupełnić o informacje o [[geometria uporządkowania|uporządkowaniu]] punktów. Np.:
▲: ''punkt D leży między punktami A, B; punkt E leży między punktami A, C.''
== Zastosowania ==
| |||