Aksjomaty Zermela-Fraenkla: Różnice pomiędzy wersjami

'''Aksjomaty Zermela'''<ref group=uwaga>W literaturze przedmiotu dominuje dopełniacz nazwiska w postaci nieodmienionej, czyli „aksjomaty '''Zermelo'''”, co jest niezgodne z polskimi zasadami deklinacji; sporadycznie pojawia się, również niepoprawna, forma „'''Zermeli'''”.</ref>'''-Fraenkla'''<ref group=uwaga>Znacznie rzadziej występuje oboczność '''„Fraenkela”'''.</ref>, '''aksjomatyka Zermela-Fraenkla''' – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów [[teoria mnogości|teorii mnogości]] zaproponowany przez [[Ernst Zermelo|Ernsta Zermela]] w 1904 roku i później uzupełniony przez [[Abraham Fraenkel|Abrahama Fraenkla]]. Tym, co w istocie Fraenkel dodał do teorii Zermela, były [[funkcja|funkcje]]<ref group="uwaga" name="ao">Umożliwiają one m.in. konstrukcję <math>\aleph_\omega.</math> Przykładowo <math>2^{\aleph_0}</math> może być równe m.in. <math>\aleph_1,</math> czy <math>\aleph_2</math>… (jedynym ograniczeniem na <math>2^x</math> jest <math>\mathrm{cf}(2^x) > x,</math> zob. [[współkońcowość]]). Najmniejszą liczbą kardynalną, którą dowodliwie w <math>ZFC</math> nie może być <math>2^{\aleph_0}</math> jest <math>\aleph_\omega,</math>, ponieważ jest to najmniejsza liczba kardynalna, która dowodliwie w <math>ZFC</math> jest singularna i której współkońcowość jest przeliczalna.</ref>.

:: <math>\forall a\; \forall b\; \exist c\; \forall x\; \Big(x \in c \Leftrightarrow (x = a \lor x = b)\Big)</math>

* {{SEP3 |url = zermelo-set-theory/ |autor = Michael Hallett |tytuł = Zermelo’s Axiomatization of Set Theory |data = 2013-07-02 | tytuł polski = (Aksjomatyzacja Zermela teorii mnogości) }}

* {{SEP3 |url = set-theory-constructive/ |autor = Laura Crosilla |tytuł = Set Theory: Constructive and Intuitionistic ZF |data = 2014-02-19 | tytuł polski = (Teoria mnogości: konstruktywne i intuicjonistyczne ZF) }}