Wikipedia

Równania Kirchhoffa: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017
Linia 1:
{{Spis treści}}
 
== Wstęp ==
'''Równania Kirchhoffa''' to równania różniczkowe opisujące stan równowagi statycznej obciążonego pręta zakrzywionego przestrzennie{{r|Rak}}{{r|Kirch}}.
 
Do opisu tego stanu trzeba posłużyć się dwoma układami współrzędnych: nieruchomym kartezjańskim <math>0xyz</math> o wersorach osi <math>\mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k</math> i ruchomym układem [[wzory Freneta|Freneta]] <math>0\xi_1\xi_2\xi_3</math> o wersorach osi <math>\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3</math> wyznaczających kierunki prostych: stycznej, normalnej głównej i binormalnej do osi pręta.
 
Oś pręta jest określona parametrycznie<ref>F. Leja, ''Geometria analityczna'', PWN, Warszawa 1954.</ref>
{{wzór|<math>x_1=x_1(t),\quad x_2=x_2(t),\quad x_3=x_3(t).</math>|0}}
{{wzór|
 
<math>x_1=x_1(t),\quad x_2=x_2(t),\quad x_3=x_3(t).</math>
Rozważać będziemy element pręta o długości <math>ds,</math> wycięty z niego dwoma przecięciami <math>S,\,dS</math> w punktach <math>s,\,ds.</math>
|0}}
 
Rozważać będziemy element pręta o długości <math>\,ds\,</math> wycięty z niego dwoma przecięciami <math>\,S,\,dS</math> w punktach <math>\,s,\,ds.</math><br> W wyniku tych przecięć powstają '''cztery''' przekroje poprzeczne
W wyniku tych przecięć powstają '''cztery''' przekroje poprzeczne
:<math>S^{(+)},\,S^{(-)},\,dS^{(+)},\,dS^{(-)}.</math>
Znaki: <math>S^{(+)},\,S^{(-)},\,dS^{(+)},\,dS^{(-)}.</math>

Znaki <math>(+),\,(-)</math> określają zwroty normalnych zewnętrznych tych przekrojów odniesione do dodatniego zwrotu osi <math>\,0x\,</math> określonego wersorem <math>\,\mathbf i.</math>
 
[[Wzory Freneta|Wersory Freneta]] i ich pochodne można zapisać następująco{{r|Smir}}
{{wzór|<math>\mathbf r=r_x\mathbf i+r_y\mathbf j+r_z\mathbf k,\quad \mathbf e_1=\mathbf r^',\quad \mathbf e_2=\frac{1}{\kappa}\mathbf e_1^',\quad\mathbf e_3=\mathbf e_1\times\mathbf e_2,</math>|1}}
{{wzór|<math>\mathbf e_1^'=\kappa\mathbf e_2,\quad\mathbf e_2^' = -\kappa\mathbf e_1-\tau\mathbf e_3,\quad \mathbf e_3^'=\tau\mathbf e_2,</math>|2}}
 
gdzie:
Linia 25 ⟶ 28:
Przy wyprowadzeniu równań Kirchhoffa podstawową operację stanowi odpowiednia redukcja działających obciążeń zewnętrznych. Poprawne wykonanie tej redukcji ilustruje następujący przykład.
 
Dokonujemy przecięcia pręta w punkcie o współrzędnej <math>\,s\,</math> i rozważamy przekrój <math>\,S{(+)}.</math> Z przekrojem tym wiążemy układ współrzędnych <math>\,0xyz.</math> Jeżeli w punkcie <math>\,R\,</math> o wektorze wodzącym <math>\,\mathbf r=r_x\mathbf i+r_y\mathbf j+r_z\mathbf k\,</math> działa siła skupiona <math>\,\mathbf P=P_x\mathbf i+P_y\mathbf j+P_z\mathbf k,</math> to w wyniku '''prawostronnej''' redukcji do środka ciężkości przekroju <math>\,S{(+)}\,</math> otrzymujemy
: <math>\mathbf P_s=P_x\mathbf i+P_y\mathbf j+P_z\mathbf k, </math>
: <math>\mathbf M_s=\mathbf r\times\mathbf P=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\
r_x&r_y&r_z\\ P_x&P_y&P_z\end{vmatrix}.</math>
 
Gdyby siła <math>\,P\,</math> działała w punkcie o wektorze wodzącym <math>\,-\mathbf r</math> to '''lewostronna''' redukcja do środka ciężkości przekroju <math>\,S^{(-)}\,</math> prowadziłaby, '''dla tego samego układu''' <math>\,0xyz,</math> do wyniku
: <math>\mathbf P_s=P_x\mathbf i+P_y\mathbf j+P_z\mathbf k, </math>
: <math>\mathbf M_s=(-\mathbf r)\times\mathbf P=\mathbf P\times\mathbf r.</math>
 
-->
 
== Siły przekrojowe ==
Redukcja obciążeń zewnętrznych działających na lewo od środka ciężkości przekroju pręta <math>\,S^{(-)}</math> w punkcie jego osi o współrzędnej <math>\,s,</math> daje w wyniku wartości sił przekrojowych w tym przekroju
{{wzór|<math>\mathbf P_s=\mathbf P_o+\int_0^s\!\!\mathbf q(\sigma)d\sigma,</math><br />
<math>\mathbf M_s=\mathbf M_o+\mathbf P_o\times(\mathbf r_o-\mathbf r_s)+\int_0^s\!\!\mathbf m(\sigma)d\sigma+\int_0^s\!\!\mathbf q(\sigma)\times(\mathbf r_\sigma-\mathbf r_s)d\sigma,</math>|3}}
 
gdzie <math>\,\mathbf P_o\,</math> i <math>\,\mathbf M_o </math> są obciążeniami w przekroju początkowym pręta, dla którego <math>\,s=0,</math> a
gdzie <math>\mathbf P_o</math> i <math>\mathbf M_o</math> są obciążeniami w przekroju początkowym pręta, dla którego <math>s=0,</math> a
{{wzór|<math>\mathbf q(\sigma)=q_1(\sigma)\mathbf e_1+q_2(\sigma)\mathbf e_2+q_3(\sigma)\mathbf e_3,</math><br>
{{wzór|<math>\mathbf mq(\sigma)=m_1q_1(\sigma)\mathbf e_1+m_2q_2(\sigma)\mathbf e_2+m_3q_3(\sigma)\mathbf e_3,</math>|4}}<br />
<math>\mathbf m(\sigma)=m_1(\sigma)\mathbf e_1+m_2(\sigma)\mathbf e_2+m_3(\sigma)\mathbf e_3</math>|4}}
 
są obciążeniami rozłożonymi w sposób ciągły wzdłuż osi.
 
Wektory <math>\,\mathbf r_o=\mathbf r(s=0),\,\mathbf r_\sigma=r(s=\sigma),\,\mathbf r_s=r(s)\,</math> są wektorami wodzącymi punktów <math>\,O0,L,S\,</math> na osi łuku.
 
Na długości elementu nie występują żadne obciążenia skupione.
 
W wyniku lewostronnej redukcji obciążeń do środka ciężkości przekroju <math>\,dS^{(-)}\,</math> otrzymujemy
{{wzór|<math>\mathbf P_s+d\mathbf P_s=\mathbf P_s+\mathbf q(s)ds,</math><br />
<math>\mathbf M_s+d\mathbf M_s=\mathbf M_s+\mathbf m(s)ds+\mathbf P_s\times d\mathbf r,</math>|5}}
 
stąd zaś
{{wzór|<math>\mathbf P^'_s=\mathbf q(s),</math><br />
<math>\mathbf M^'_s=\mathbf m(s)+\mathbf P_s\times\tfrac{d\mathbf r}{ds}=\mathbf m(s)+\mathbf P_s\times\mathbf e_1,</math>
<math>\mathbf P_s\times\mathbf e_1=(P_1\mathbf e_1+P_2\mathbf e_2+P_3\mathbf e_3)\times\mathbf e_1=P_3\mathbf e_2-P_2\mathbf e_3.</math>|6}}
 
Zdefiniujemy teraz '''dodatnie siły przekrojowe''' działające w przekroju <math>\,S^{(-)}\,</math> o współrzędnej <math>s</math> i normalnej zewnętrznej <math>-\,\mathbf e_1.</math> W tym celu napiszemy
{{wzór|<math>\mathbf P_s=P_1\mathbf e_1+P_2\mathbf e_2+P_3\mathbf e_3=N\mathbf e_1+Q\mathbf e_2+T\mathbf e_3,</math><br />
<math>\mathbf M_s=M_1\mathbf e_1+M_2\mathbf e_2+M_3\mathbf e_3=M_s\mathbf e_1+M_n\mathbf e_2+M\mathbf e_3,</math>|7}}
 
Linia 67 ⟶ 72:
* <math>M_s</math> – moment skręcający o wektorze w kierunku osi <math>0\xi_1,</math>
* <math>M_n</math> – moment zginający o wektorze w kierunku osi <math>0\xi_2,</math>
* <math>M</math> – moment zginający o wektorze w kierunku osi <math>0\xi_3.</math><br>
 
Korzystając z {{LinkWzór|7}}, możemy na podstawie {{LinkWzór|2}} napisać
{{wzór|<math>\begin{align}
\mathbf P^'_s &= P_1^'\mathbf e_1+P_2^'\mathbf e_2+P_3^'\mathbf e_3+P_1\mathbf e^'_1+P_2\mathbf e^'_2+P_3\mathbf e^'_3 =\\ [2pt]
&= P_1^'\mathbf e_1+P_2^'\mathbf e_2+P_3^'\mathbf e_3 + P_1(\kappa\mathbf e_2) + P_2(-\kappa\mathbf e_1-\tau\mathbf e_3) + P_3(\tau\mathbf e_2) =\\ [2pt]
&= (P^'_1-\kappa P_2)\mathbf e_1+(P^'_2+\kappa P_1+\tau P_3)\mathbf e_2+(P^'_3-\tau P_2)\mathbf e_3,\end{align}</math>|8}}
{{wzór|<math>\begin{align} \\ [1px]
\mathbf M^'_s &= M^'_1\mathbf e_1 + M^'_2\mathbf e_2 + M^'_3\mathbf e_3 + M_1\mathbf e^'_1+M_2\mathbf e^'_2 + M_3\mathbf e^'_3 =\\ [2pt]
&= M^'_1\mathbf e_1 + M^'_2\mathbf e_2 + M^'_3\mathbf e_3 + M_1(\kappa\mathbf e_2) + M_2(-\kappa\mathbf e_1-\tau\mathbf e_3) + M_3(\tau\mathbf e_2) =\\ [2pt]
&= (M^'_1-\kappa M_2)\mathbf e_1 + (M^'_2+\kappa M_1 + \tau M_3)\mathbf e_2 + (M^'_3-\tau M_2)\mathbf e_3.
\end{align}</math>|9}}
 
Na podstawie {{LinkWzór|6}} i {{LinkWzór|7}} mamy
{{wzór|<math>\mathbf P^'_s=q_1\mathbf e_1+q_2\mathbf e_2+q_3\mathbf e_3,</math>|10}}
{{wzór|<math>\begin{align}
\mathbf M^'_s &= \mathbf m(s) - P_2\mathbf e_3 + P_3\mathbf e_2 =\\ [2pt]
&= m_1\mathbf e_1 + m_2\mathbf e_2 + m_3\mathbf e_3 - P_2\mathbf e_3 + P_3\mathbf e_2 =\\ [2pt]
&= m_1\mathbf e_1 + (m_2+P_3)\mathbf e_2 + (m_3-P_2)\mathbf e_3.
\end{align}</math>|11}}
Linia 90 ⟶ 96:
{{wzór|
<math>\frac{dN}{ds}-\kappa Q=q_1,\quad
\frac{dQ}{ds}+\kappa N+\tau T=q_2,\quad \frac{dT}{ds}-\tau Q=q_3,</math><br />
<math>\frac{dM_s}{ds}-\kappa M_n=m_1,\quad \frac{dM_n}{ds}+\kappa M_s+\tau M=m_2+T,</math><br />
<math>\frac{dM}{ds}-\tau M_n=m_3-Q.</math>
|12}}
Linia 97 ⟶ 103:
Dla pręta płasko zakrzywionego (tzn. gdy <math>\tau\equiv 0</math>) ten układ równań przybiera postać{{r|Rak}}
{{wzór|
<math>N^'-\kappa Q=q_1,\quad Q^'+\kappa N=q_2,\quad T^'=q_3,</math><br />
<math>M_s^'-\kappa M_n=m_1,\quad M_n^'+\kappa M_s=m_2+T,\quad M^'=m_3-Q.</math>
|13}}
Jeżeli pręt płasko zakrzywiony jest obciążony tylko w płaszczyźnie swojej osi, to <math>\;q_3=m_1=m_2=0\;</math> i gdy <math>\;T=M_s=M_n=0,\;</math> wówczas równania (13) przyjmują postać
 
Jeżeli pręt płasko zakrzywiony jest obciążony tylko w płaszczyźnie swojej osi, to <math>q_3=m_1=m_2=0</math> i gdy <math>T=M_s=M_n=0,</math> wówczas równania {{LinkWzór|13}} przyjmują postać
<math>N^'-\kappa Q=q_1,\quad Q^'+\kappa N=q_2,\quad M^'=m_3-Q.</math>
: <math>N^'-\kappa Q=q_1,\quad Q^'+\kappa N=q_2,\quad M^'=m_3-Q.</math>
 
Gdy na taki pręt działają tylko obciążenia <math>\;q_3,\,m_1,\,m_2\;</math> <math>(q_1=q_2=m_3=0)</math> i gdy <math>\;N=Q=M=0,\;</math> wtedy mamy zamiast ({{LinkWzór|13)}}
: <math>T^'=q_3,\quad M_s^'-\kappa M_n=m_1,\quad M^'_n+\kappa M_s=m_2+T.</math>
 
Dla pręta o stałej krzywiźnie osi (tzn. gdy <math>\kappa\equiv \mathrm{const}</math>&nbsp;) równania ({{LinkWzór|13)}} dają się rozprzęgnąć do postaci
{{wzór|
: <math>N^{''}+\kappa^2 N=q^'_1+\kappa q_2,</math><br>
: <math>Q^{''}+\kappa^2 Q = -\,\kappa q_1+q^'_2,</math><br>
: <math>T^'=q_3,</math><br>
: <math>M^{'''}_s+\kappa^2 M^'_s=m^{''}_1+\kappa m^'_2+\kappa q_3,</math><br>
: <math>M^{''}_n+\kappa^2M_n = -\,\kappa m_1+m^'_2+q_3,</math><br>
: <math>M^'=m_3-Q.</math>|14}}
 
W szczególności dla pręta o osi prostoliniowej (tzn. gdy <math>\kappa\equiv 0</math>) otrzymujemy
{{wzór|
: <math>N^'=q_1,\quad Q^'=q_2,\quad T^'=q_3,</math><br>
: <math>M^'_s=m_1,\quad M^{''}_n=m^'_2+q_3,\quad M^'=m_3-Q.</math>|15}}
 
Pewnego podsumowania wymaga jeszcze kryterium znakowania sił przekrojowych określonych równaniami ({{LinkWzór|12)}}. W tym celu dokonujemy dwu przecięć pręta w punktach o współrzędnych <math>\,s\,</math> i <math>\,s+ds.</math> Konsekwencją tych przecięć jest powstanie '''czterech''' przekrojów poprzecznych:
: <math>S^{(+)},\,S^{(-)},\,dS^{(+)},\,dS^{(-)}.</math>
Znaki <math>\,(+),\,(-)\,</math> określają zwroty ich normalnych zewnętrznych odnoszące się do kierunku wersora <math>\,\mathbf e_1.</math>
 
Znaki <math>(+),\,(-)</math> określają zwroty ich normalnych zewnętrznych odnoszące się do kierunku wersora <math>\mathbf e_1.</math>
Ze środkiem ciężkości <math>\,s\,</math> przekroju <math>\,S^{(-)}\,</math> zwiążemy teraz układ współrzędnych <math>\,0\mathbf e_1\mathbf e_2\mathbf e_3.</math> Siły przekrojowe <math>\,N,Q,T,M_s,M_n,M\,</math> w tym przekroju są dodatnie, gdy działają zgodnie z kierunkami wersorów osi przyjętego układu. Wartości tych sił wynikają z redukcji do punktu <math>\,s\,</math> wszystkich obciążeń zewnętrznych pręta działających na lewo od jego przekroju <math>\,S^{(-)}.</math>
 
Ze środkiem ciężkości <math>s</math> przekroju <math>S^{(-)}</math> zwiążemy teraz układ współrzędnych <math>0\mathbf e_1\mathbf e_2\mathbf e_3.</math> Siły przekrojowe <math>N,Q,T,M_s,M_n,M</math> w tym przekroju są dodatnie, gdy działają zgodnie z kierunkami wersorów osi przyjętego układu. Wartości tych sił wynikają z redukcji do punktu <math>s</math> wszystkich obciążeń zewnętrznych pręta działających na lewo od jego przekroju <math>S^{(-)}.</math>
Wykorzystując oznaczenia (9) i (10) możemy dla przekroju <math>\,S^{(-)}\,</math> napisać
:<math>\mathbf F_s=[\mathbf P_s,\mathbf M_s],</math>
a dla przekroju <math>\,dS^{(-)}\,</math>
:<math>\mathbf F_s+d\mathbf F_s=[\mathbf P_s+d\mathbf P_s,\;\mathbf M_s+d\mathbf M_s].</math>
 
Wykorzystując oznaczenia {{LinkWzór|9}} i {{LinkWzór|10}}, możemy dla przekroju <math>S^{(-)}</math> napisać
Jeżeli obciążenie zewnętrzne, działające na element <math>\,(s,s+ds)\,</math> wycięty z rozważanego pręta, oznaczymy przez
: <math>\mathbf f(s)F_s=[\mathbf q(s)+P_s,\mathbf m(s)M_s],</math>
to z warunku jego równowagi otrzymamy zamiast (12)
:<math>-d\mathbf F_s+\mathbf f(s)ds=0\quad\to\quad\tfrac{d}{ds}\mathbf F(s)=\mathbf f(s).</math>
 
a dla przekroju <math>dS^{(-)}</math>
Dla prostoliniowego pręta o stałej sztywności giętnej <math>\,EI,\,</math> poddanemu tylko obciążeniu <math>\,q_2,\,</math> mamy zgodnie z [[Zginanie|teorią Eulera-Bernoulliego]]
: <math>\mathbf F_s+d\mathbf F_s=[\mathbf P_s+d\mathbf P_s,\;\mathbf M_s+d\mathbf M_s].</math>
:<math>EIw^{''}(s)=M(s).</math>
 
Jeżeli obciążenie zewnętrzne, działające na element <math>(s,s+ds)</math> wycięty z rozważanego pręta, oznaczymy przez
Na podstawie wzorów (15) otrzymuje się
: <math>EIw^{'''}\mathbf f(s)=-Q\mathbf q(s),+\quadmathbf EIw^{''''}=-\,q_2m(s).,</math>
 
to z warunku jego równowagi otrzymamy zamiast {{LinkWzór|12}}
: <math>-d\mathbf F_s+\mathbf f(s)ds=0\quad\to\quad\tfrac{d}{ds}\mathbf F(s)=\mathbf f(s).</math>
 
Dla prostoliniowego pręta o stałej sztywności giętnej <math>EI,</math> poddanemu tylko obciążeniu <math>q_2,</math> mamy zgodnie z [[Zginanie|teorią Eulera-Bernoulliego]]
: <math>EIw^{''}(s)=M(s).</math>
 
Na podstawie wzorów {{LinkWzór|15}} otrzymuje się
: <math>EIw^{'''}(s) = -Q(s),\quad EIw^{''''} = -\,q_2(s).</math>
 
== Podsumowanie ==
Podstawowa trudność w praktycznym zastosowaniu równań Kirchhoffa polega na tym, że wielkości występujące w tych równaniach są funkcjami [[długość krzywej|parametru naturalnego]] <math>\,s\,</math> wyrażającego '''długość''' rozważanej krzywej. Związek <math>\,s(t)\,</math> tego parametru ze zmienną <math>\,t\,</math> stosowaną w zapisie równań o postaci
{{wzór|
<math>x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)</math>|a}}
 
daje się zapisać w sposób jawny tylko w najprostszych przypadkach takich jak na przykład dla okręgu
: <math>x=r\cos t=r\cos\tfrac{s}{r},\quad y=r\sin t=r\sin\tfrac{s}{r},\quad \mathbf{s(t)=rt}.</math>
 
W ogólnym przypadku długość łuku określona jest całką
{{wzór|
<math>s(t)=\int_0^s\!d\sigma=\int_0^t\!\!\sqrt{\dot x^2(\tau)+\dot y^2(\tau)+\dot z^2(\tau)}\,d\tau,</math>|b}}
 
której obliczenie zazwyczaj stanowi istotny problem.
 
Dodatkowe utrudnienie wynika z faktu, że wielkości występujące we wzorach {{LinkWzór|3}} są funkcjami zmiennej <math>\,s\,</math> (a nie <math>t\;!),</math>!), co wymaga podstawienia zależności <math>\,t=t(s)\,</math> we wzorach {{LinkWzór|0}}. Jawna postać tej zależności występuje niestety tylko dla najprostszych przypadków. Na przykład dla okręgu <math>\,t(s)=\tfrac{s}{r}\,</math> lub dla spirali kołowej <math>\,t(s)=\tfrac{s}{r}\cos\varphi.</math>
 
Nawet jeżeli całka we wzorze {{LinkWzór|b}} daje się obliczyć, to wyznaczenie zależności odwrotnej <math>t(s)</math> może się okazać niewykonalne. Z taką sytuacją mamy do czynienia na przykład dla krzywej w postaci [[Wzory Freneta#Przykłady|płaskiej paraboli]]
: <math>x(t)=t,\quad y(t)=t^2,\quad z(t)=0,</math>
 
Nawet jeżeli całka we wzorze {{LinkWzór|b}} daje się obliczyć, to wyznaczenie zależności odwrotnej <math>\,t(s)\,</math> może się okazać niewykonalne. Z taką sytuacją mamy do czynienia na przykład dla krzywej w postaci [[Wzory Freneta#Przykłady|płaskiej paraboli]]
:<math>x(t)=t,\quad y(t)=t^2,\quad z(t)=0,</math>
dla której{{r|Bron}}
{{wzór|
<math>ds(t)=\sqrt{1+4t^2}dt,</math>|c}}
: <math>s(t)=2\!\int_0^t\!\!\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tau^2}d\tau=t\sqrt{\tfrac{1}{4}+t^2}+\tfrac{1}{4}\ln\left(t+\sqrt{\tfrac{1}{4}+t^2}\right)-\tfrac{1}{4}\ln(\tfrac{1}{2}). </math>
 
Jak wynika ze wzoru {{LinkWzór|c}} funkcja <math>s(t)</math> jest silnie rosnąca i dla tego wiadomo, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy wartościami zmiennych <math>s</math> i <math>t.</math> Jednak nawet dla tego prostego przypadku wyznaczenie jawnej, analitycznej postaci zależności <math>t(s)</math> nie jest możliwe.
 
W przypadku ogólnym, gdy krzywa jest opisana równaniami {{LinkWzór|a}}, obliczanie całek
Jak wynika ze wzoru (c) funkcja <math>\,s(t)\,</math> jest silnie rosnąca i dla tego wiadomo, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy wartościami zmiennych <math>\,s\,</math> i <math>\,t.</math> Jednak nawet dla tego prostego przypadku wyznaczenie jawnej, analitycznej postaci zależności <math>\,t(s)\,</math> nie jest możliwe.
: <math>\int_0^s\!\!x_\sigma d\sigma=\int_0^s\!\!x[t(\sigma)]d\sigma,\quad \int_0^s\!\!y_\sigma d\sigma=\int_0^s\!\!y[t(\sigma)]d\sigma,\quad \int_0^s\!\!z_\sigma d\sigma=\int_0^s\!\!z[t(\sigma)]d\sigma,</math>
 
występujących we wzorach {{LinkWzór|3}} wymaga zastosowania [[całkowanie numeryczne|numerycznych metod całkowania]]. Wymaga to podzielenia przedziału całkowania <math>(0,\,s)</math> na <math>n</math> podprzedziałów i obliczenia rzędnych <math>x_i,\,y_i,\,z_i</math> funkcji całkowanych, w węzłach podziałowych <math>s_i.</math> I tu również pojawia się problem bo obliczenie tych rzędnych wymaga <math>n+1</math> krotnego, numerycznego rozwiązywania równań <math>s(t)=s_i</math> w celu wyznaczenia rzędnych <math>t_i(s_i).</math>
W przypadku ogólnym, gdy krzywa jest opisana równaniami {{LinkWzór|a}}, obliczanie całek
<math>\int_0^s\!\!x_\sigma d\sigma=\int_0^s\!\!x[t(\sigma)]d\sigma,\quad \int_0^s\!\!y_\sigma d\sigma=\int_0^s\!\!y[t(\sigma)]d\sigma,\quad \int_0^s\!\!z_\sigma d\sigma=\int_0^s\!\!z[t(\sigma)]d\sigma,</math>
występujących we wzorach {{LinkWzór|3}} wymaga zastosowania [[całkowanie numeryczne|numerycznych metod całkowania]]. Wymaga to podzielenia przedziału całkowania <math>\,(0,\,s)\,</math> na <math>\,n\,</math> podprzedziałów i obliczenia rzędnych <math>\,x_i,\,y_i,\,z_i\,</math> funkcji całkowanych, w węzłach podziałowych <math>\,s_i.</math> I tu również pojawia się problem bo obliczenie tych rzędnych wymaga <math>\,n+1\,</math> krotnego, numerycznego rozwiązywania równań <math>\,s(t)=s_i\,</math> w celu wyznaczenia rzędnych <math>\,t_i(s_i).</math>
 
== Przykłady ==
[[Wzory Freneta#Przykłady|'''1. Spirala kołowa''']] prawoskrętna wokoło osi <math>\,0z.</math><br />
Obliczymy siły przekrojowe w pręcie o osi opisanej parametrycznie
: <math>x(t)=r\cos t,\quad y(t)=r\sin t,\quad z(t)=\tfrac{hr}{2\pi}t,</math>
względem osi kartezjańskiego układu współrzędnych <math>\,0xyz.</math> Wersory tych osi oznaczymy przez <math>\,\mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k.</math>
 
względem osi kartezjańskiego układu współrzędnych <math>0xyz.</math> Wersory tych osi oznaczymy przez <math>\mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k.</math>
Oś pręta jest [[Wzory Freneta#Przykłady|linią śrubową]] czyli spiralą nawiniętą na walec kołowy o promieniu <math>\,r.</math>
[[Gwint|Skok spirali]] wynosi <math>\,hr.</math>
 
Oś pręta jest [[Wzory Freneta#Przykłady|linią śrubową]], czyli spiralą nawiniętą na walec kołowy o promieniu <math>r.</math> [[Gwint|Skok spirali]] wynosi <math>hr.</math>
Siły wyznaczymy jako funkcje zmiennej <math>\,s\,</math> liczonej wzdłuż osi pręta od jego lewego końca w punkcie <math>\,s=0\,</math> o współrzędnych <math>\,(r,\,0,\,0).</math>
 
Siły wyznaczymy jako funkcje zmiennej <math>s</math> liczonej wzdłuż osi pręta od jego lewego końca w punkcie <math>s=0</math> o współrzędnych <math>(r,\,0,\,0).</math>
Założymy, że pręt jest całkowicie utwierdzony w przekroju o współrzędnej <math>\,s=r\sqrt{4\pi^2+h^2}\;\;(t=2\pi)\,</math> i zupełnie swobodny w przekroju o współrzędnej <math>\,s=0.</math>
 
Założymy, że pręt jest całkowicie utwierdzony w przekroju o współrzędnej <math>s=r\sqrt{4\pi^2+h^2}\;\;(t=2\pi)</math> i zupełnie swobodny w przekroju o współrzędnej <math>s=0.</math>
Pręt jest obciążony siłą skupioną <math>\,\mathbf P=-P\mathbf k\,</math> w przekroju <math>\,s=0\,</math> i równomiernie rozłożonym ciężarem własnym <math>\,\mathbf q(s)=-q\mathbf k\,</math> liczonym na jednostkę długości osi pręta.
 
Pręt jest obciążony siłą skupioną <math>\mathbf P = -P\mathbf k</math> w przekroju <math>s=0</math> i równomiernie rozłożonym ciężarem własnym <math>\mathbf q(s) = -q\mathbf k</math> liczonym na jednostkę długości osi pręta.
Wyznaczenie sił przekrojowych dla punktu <math>\,s\,</math> wymaga wprowadzenia w tym punkcie układu [[Wzory Freneta|współrzędnych Freneta]] <math>0\mathbf e_1\mathbf e_2\mathbf e_3.</math> Wersory tego układu mają w układzie <math>\,0xyz\,</math> [[Wzory Freneta#Przykłady|następujące współrzędne]]
:<math>\mathbf e_1=(-\cos\varphi\sin t,\;\cos\varphi\cos t,\;\sin\varphi),</math>
:<math>\mathbf e_2=(-\cos t,\;-\sin t,\;0),</math>
:<math>\mathbf e_3=(\sin\varphi\sin t,\;-\sin\varphi\cos t,\;\cos\varphi),</math>
gdzie <math>\,\varphi\,</math> jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny <math>\,0xy.</math>
 
Wyznaczenie sił przekrojowych dla punktu <math>s</math> wymaga wprowadzenia w tym punkcie układu [[Wzory Freneta|współrzędnych Freneta]] <math>0\mathbf e_1\mathbf e_2\mathbf e_3.</math> Wersory tego układu mają w układzie <math>0xyz</math> [[Wzory Freneta#Przykłady|następujące współrzędne]]
Wartości sił w [[Równania Kirchhoffa|przekroju]] <math>\,S^{(-)} \,</math> o współrzędnej <math>\,s\,</math> oblicza się ze wzorów
: <math>P_x=0,\quadmathbf P_ye_1=0,(-\quadcos\varphi\sin P_z=-P-t,\int_0^s;\cos\varphi\cos qdt,\sigma=-(P+qs;\sin\varphi),</math>
: <math>P_1=N=P_z\mathbf ke_2=(-\mathbfcos e_1=t,\;-(P+qs)\sin t,\varphi;0),</math>
: <math>P_2=Q=P_z\mathbf ke_3=(\mathbfsin\varphi\sin e_2=0t,\;-\sin\varphi\cos t,\;\cos\varphi),</math>
:<math>P_3=T=P_z\mathbf k\mathbf e_3=-(P+qs)\cos\varphi.</math>
:<math>M_x=Py_s+\int_0^s qy_\sigma d\sigma=Pr\sin\alpha s+\tfrac{qr}{\alpha}(1-\cos\alpha s),
</math>
:<math>\alpha=\tfrac{\cos\varphi}{r},\quad \mathbf{\alpha s=t},\quad x_s=r\cos\alpha s,\quad y_s=r\sin\alpha s,\quad \sigma\in[0,s],</math>
:<math>M_y=P(r-x_s)+\int_0^s q(x_\sigma-x_s)d\sigma=Pr(1-\cos\alpha s)+</math>
:<math>\quad +q\int_0^s x_\sigma d\sigma -qx_s\int_0^s d\sigma=Pr(1-\cos\alpha s)+\tfrac{qr}{\alpha}\sin\alpha s-qrs\cos\alpha s,</math>
:<math>M_z=0,</math>
 
gdzie <math>\varphi</math> jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny <math>0xy.</math>
 
Wartości sił w [[Równania Kirchhoffa|przekroju]] <math>S^{(-)}</math> o współrzędnej <math>s</math> oblicza się ze wzorów
:<math>\mathbf M_s=M_x\mathbf i+M_y\mathbf j+M_z\mathbf k=M_1\mathbf e_1+M_2\mathbf e_2+M_3\mathbf e_3,</math>
: <math>M_1P_x=M_s=M_x0,\mathbfquad iP_y=0,\mathbfquad e_1+M_y\mathbfP_z j\mathbf= e_1+M_z-P-\mathbfint_0^s kqd\mathbfsigma e_1= -(P+qs),</math>
: <math>P_1=N=P_z\qquadmathbf k\mathbf e_1 = -(-\cos\varphiP+qs)\sin\alpha s)M_x+(\cos\varphi\cos\alpha s)M_y,</math>
: <math>M_2P_2=M_nQ=M_x\mathbf i\mathbf e_2+M_y\mathbf j\mathbf e_2+M_zP_z\mathbf k\mathbf e_2=-\cos\alpha s\, M_x-\sin\alpha s\, M_y0,</math>
: <math>M_3P_3=MT=M_xP_z\mathbf ik\mathbf e_3+M_y\mathbf j\mathbf= e_3-(P+M_zqs)\mathbf kcos\mathbf e_3=varphi.</math>
: <math>M_x=Py_s+\qquadint_0^s =(qy_\sinsigma d\varphisigma=Pr\sin\alpha s)M_x+(-\sintfrac{qr}{\varphialpha}(1-\cos\alpha s)M_y.,</math>
: <math>\alpha=\tfrac{\cos\varphi}{r},\quad \mathbf{\alpha s=t},\quad x_s=r\cos\alpha s,\quad y_s=r\sin\alpha s,\quad \sigma\in[0,s],</math>
: <math>M_y=P(r-x_s)+\int_0^s q(x_\sigma-x_s)d\sigma=Pr(1-\cos\alpha s)+</math>
: <math>{}\qquad +q\int_0^s x_\sigma d\sigma -qx_s\int_0^s d\sigma=Pr(1-\cos\alpha s)+\tfrac{qr}{\alpha}\sin\alpha s-qrs\cos\alpha s,</math>
: <math>M_z=0,</math>
 
: <math>\begin{align}
'''2. Lewoskrętna spirala kołowa''' na walcu o osi <math>\,0y.</math><br>
\mathbf M_s &=M_x\mathbf i+M_y\mathbf j+M_z\mathbf k \\ [2pt]
:<math>x(t)=r\cos t,\quad y(t)=\tfrac{hr}{2\pi}t,\quad z(t)=r\sin t,</math>
&= M_1\mathbf e_1+M_2\mathbf e_2+M_3\mathbf e_3,
:<math>\dot x(t)=-r\sin t,\quad \dot y(t)=\tfrac{hr}{2\pi},\quad \dot z(t)=r\cos t,</math>
\end{align}</math>
:<math>ds=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2} =r\kappa dt,</math>
:<math>\kappa=\sqrt{1+\tfrac{h^2}{4\pi^2}},\quad \tfrac{1}{\kappa}=\cos\varphi,\quad \tfrac{h}{2\pi\kappa}=\sin\varphi,</math>
gdzie <math>\,\varphi\,</math> jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta do płaszczyzny <math>\,0zx,</math>
:<math>x^'(s)=-\cos\varphi\sin t,\quad y^'(s)=\sin\varphi,\quad \cos\varphi\cos t,</math>
:<math>\mathbf e_1=(-\cos\varphi\sin t,\;\sin\varphi,\;\cos\varphi\cos t),</math>
:<math>x^{''}(s)=-\tfrac{1}{\rho}\cos t,\quad y^{''}(s)=0,\quad z^{''}(s)=-\tfrac{1}{\rho}\sin t,\quad \rho=\tfrac{r}{\cos^2\varphi},</math>
:<math>\mathbf e_2=(-\cos t,\;0,\;-\sin t),</math>
:<math>\mathbf e_3=\mathbf e_1\times\mathbf e_2=(-\sin\varphi\sin t,\;-\cos\varphi,\;\sin\varphi\cos t).</math>
 
: <math>\begin{align}
Obciążeniem pręta jest jego ciężar własny <math>\,\mathbf q=-q\mathbf k.</math> Pręt jest w pełni zamocowany w przekroju końcowym.
M_1 &=M_s=M_x\mathbf i\mathbf e_1+M_y\mathbf j\mathbf e_1+M_z\mathbf k\mathbf e_1 \\ [2pt]
&= (-\cos\varphi\sin\alpha s)M_x+(\cos\varphi\cos\alpha s)M_y,
\end{align}</math>
 
: <math>\begin{align}
Siły przekrojowe oblicza się z następujących wzorów.
:<math>\mathbfM_2 &= P_sM_n=P_xM_x\mathbf i+P_y\mathbf je_2+P_zM_y\mathbf k=-j\int_0^smathbf qe_2+M_z\mathbf k\mathbf e_2 d\sigma=-qs\mathbf k,</math>[2pt]
&= -\cos\alpha s\, M_x-\sin\alpha s\, M_y,
:<math>\mathbf M_s=-\int_0^s q\mathbf k\times(\mathbf r_\sigma-\mathbf r_s)d\sigma=-q\int_0^s
\end{align}</math>
\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\
 
: <math>\begin{align}
M_3 &= M=M_x\mathbf i\mathbf e_3+M_y\mathbf j\mathbf e_3+M_z\mathbf k\mathbf e_3 \\ [2pt]
&= (\sin\varphi\sin\alpha s)M_x+(-\sin\varphi\cos\alpha s)M_y.
\end{align}</math>
 
'''2. Lewoskrętna spirala kołowa''' na walcu o osi <math>0y.</math>
: <math>x(t)=r\cos t,\quad y(t)=\tfrac{hr}{2\pi}t,\quad z(t)=r\sin t,</math>
: <math>\dot x(t) = -r\sin t,\quad \dot y(t)=\tfrac{hr}{2\pi},\quad \dot z(t)=r\cos t,</math>
: <math>ds=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2} =r\kappa dt,</math>
: <math>\kappa=\sqrt{1+\tfrac{h^2}{4\pi^2}},\quad \tfrac{1}{\kappa}=\cos\varphi,\quad \tfrac{h}{2\pi\kappa}=\sin\varphi,</math>
 
gdzie <math>\varphi</math> jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta do płaszczyzny <math>0zx,</math>
: <math>x^'(s) = -\cos\varphi\sin t,\quad y^'(s)=\sin\varphi,\quad \cos\varphi\cos t,</math>
: <math>\mathbf e_1=(-\cos\varphi\sin t,\;\sin\varphi,\;\cos\varphi\cos t),</math>
: <math>x^{''}(s) = -\tfrac{1}{\rho}\cos t,\quad y^{''}(s)=0,\quad z^{''}(s) = -\tfrac{1}{\rho}\sin t,\quad \rho=\tfrac{r}{\cos^2\varphi},</math>
: <math>\mathbf e_2=(-\cos t,\;0,\;-\sin t),</math>
: <math>\mathbf e_3=\mathbf e_1\times\mathbf e_2=(-\sin\varphi\sin t,\;-\cos\varphi,\;\sin\varphi\cos t).</math>
 
Obciążeniem pręta jest jego ciężar własny <math>\mathbf q = -q\mathbf k.</math> Pręt jest w pełni zamocowany w przekroju końcowym.
 
Siły przekrojowe oblicza się z następujących wzorów:
: <math>\mathbf P_s=P_x\mathbf i+P_y\mathbf j+P_z\mathbf k = -\int_0^s q\mathbf k d\sigma = -qs\mathbf k,</math>
: <math>\begin{align}
\mathbf M_s &= -\int_0^s q\mathbf k\times(\mathbf r_\sigma-\mathbf r_s)d\sigma = -q\int_0^s
\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k \\ [1ex]
0&0&1\\x_\sigma-x_s&y_\sigma-y_s&z_\sigma-z_s
\end{vmatrix}d\sigma=</math> \\ [1ex]
:<math>&= -q\int_0^s \left[-(y_\sigma-y_s)\mathbf i+(x_\sigma-x_s)\mathbf j\right]d\sigma=</math> \\ [1ex]
:<math>&= -q\left[(-\int_0^s y_\sigma d\sigma+\int_0^s y_sd\sigma)\mathbf i+(\int_0^s x_\sigma d\sigma-\int_0^s x_sd\sigma)\mathbf j\right]=</math> \\ [1ex]
:<math>&= -qrs\left[\tfrac{h\alpha s}{4\pi}\mathbf i+(\tfrac{1}{\alpha s}\sin\alpha s-\cos\alpha s)\mathbf j\right]=M_x\mathbf i+M_y\mathbf j+0\mathbf k,</math>
\end{align}</math>
gdzie<br>
:<math>\alpha=\tfrac{\cos\varphi}{r},\quad \mathbf{\alpha s=t},\quad x_s=x(s)=r\cos\alpha s,\quad y_s=y(s)=\tfrac{hr}{2\pi}\alpha s,</math>
:<math>M_i=\mathbf M_s\mathbf e_i=M_x\mathbf i\mathbf e_i+M_y\mathbf j\mathbf e_i,\quad i=1,2,3.</math>
:<math>M_1=M_x(-\cos\varphi\sin t)+M_y(\sin\varphi),</math>
:<math>M_2=M_x(-\cos t),</math>
:<math>M_3=M_x(-\sin\varphi\sin t)+M_y(-\cos\varphi).</math>
 
gdzie:
'''3. Okrąg na płaszczyźnie''' o normalnej <math>\,\mathbf b=(0,\,-\sin\alpha,\,\cos\alpha).</math>
: <math>\alpha=\tfrac{\cos\varphi}{r},\quad \mathbf{\alpha s=t},\quad x_s=x(s)=r\cos\alpha s,\quad y_s=y(s)=\tfrac{hr}{2\pi}\alpha s,</math>
: <math>M_i=\mathbf M_s\mathbf e_i=M_x\mathbf i\mathbf e_i+M_y\mathbf j\mathbf e_i,\quad i=1,2,3,</math>
: <math>M_1=M_x(-\cos\varphi\sin t)+M_y(\sin\varphi),</math>
: <math>M_2=M_x(-\cos t),</math>
: <math>M_3=M_x(-\sin\varphi\sin t)+M_y(-\cos\varphi).</math>
 
'''3. Okrąg na płaszczyźnie''' o normalnej <math>\mathbf b=(0, -\sin\alpha,\,\cos\alpha).</math>
 
Oś pręta jest opisana parametrycznie
: <math>x(t)=r\cos t,\quad y(t)=r\cos\alpha\sin t,\quad z(t)=r\sin\alpha\sin t</math>
 
względem układu współrzędnych <math>\,0xyz.</math>
względem układu współrzędnych <math>0xyz.</math>
 
Współrzędne wersorów osi [[Wzory Freneta#Przykłady|układu Freneta]] mają współrzędne
: <math>\mathbf e_1=(-\sin t,\,\cos\alpha\cos t,\,\sin\alpha\cos t),</math>
: <math>\mathbf e_2=(-\cos t,\,-\cos\alpha\sin t,\,-\sin\alpha\sin t),</math>
: <math>\mathbf e_3=\mathbf e_1\times\mathbf e_2=(0,\,-\sin\alpha,\,\cos\alpha).</math>
 
Pręt jest przecięty w punkcie początkowym o współrzędnej <math>\,t=0\,</math> i jest w pełni utwierdzony w punkcie końcowym przy <math>\,t=2\pi.</math> Przekrój początkowy <math>\,S^{(-)}\,</math> jest swobodny i obciążony skupionym momentem skręcającym <math>\,\mathbf M=M\mathbf j.</math>
 
Siły przekrojowe mają wartości
: <math>P_1=P_2=P_3=0,</math>
: <math>M_x=0,\;M_y=M,\;M_z=0,</math>
: <math>\mathbf M_s = M_x\mathbf i+M_y\mathbf j+M_z\mathbf k = M_1\mathbf e_1+M_2\mathbf e_2+M_3\mathbf e_3,</math>
: <math>M_1 = M_x\mathbf i\mathbf e_1+M_y\mathbf j\mathbf e_1+M_z\mathbf k\mathbf e_1 = M\cos\alpha\cos t,</math>
: <math>M_2 = M_x\mathbf i\mathbf e_2+M_y\mathbf j\mathbf e_2+M_z\mathbf k\mathbf e_2 = -M\cos\alpha\sin t,</math>
: <math>M_3 = M_x\mathbf i\mathbf e_3+M_y\mathbf j\mathbf e_3+M_z\mathbf k\mathbf e_3 = -M\sin\alpha.</math>
 
== Przypisy ==
{{Przypisy|
<ref name="Rak">G. Rakowski, R, Solecki, ''Pręty zakrzywione – obliczenia statyczne'', Arkady, Warszawa 1965.</ref>
<ref name="Smir">В.И. Смирнов, ''Күрс высшей математиқи'', Гос. Издат. техниĸо-теоретической литературы, Москва-Ленинград 1951.</ref>
<ref name="Kirch">G. Kirchhoff, ''Vorlesungen über mathematische Physik'', t. I, Mechanik.</ref>
<ref name="Bron">И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, ''Справочник по математике'', стр. 359, Гос. Издат. Тех-теор. литературы, Москва 1954.</ref>
</ref>
}}
 
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Równania_Kirchhoffa”