Preferencje homotetyczne: Różnice pomiędzy wersjami

W teorii konsumenta preferencje są nazywane homotetycznymi, jeśli mogą być reprezentowane przez [[FunkcjaUżyteczność użyteczności(ekonomia)|funkcję użyteczności]], która jest homogeniczna stopnia 1.<ref name=":0">{{Cytuj |autor = Hal R. Varian |tytuł = Google |data dostępu = 2020-06-02 |isbn = 978-1-137-42904-9 |wydawca = Palgrave Macmillan | doi=10.1057/9781137429049.3893}}</ref>: Na przykład w gospodarce z dwoma towarami x, y, preferencje homotetyczne mogą być reprezentowane przez funkcję użyteczności u, która ma następującą właściwość: dla każdego a>0:

: <math>u(a*x,a*y)=a*u(x,y).</math>

W matematyce funkcja homotetyczna jest monotoniczną transformacją funkcji, która jest jednorodna<ref>{{Cytuj |autor = Simon Marginson, Chris Nyland, Erlenawati Sawir, Helen Forbes-Mewett |tytuł = References |data dostępu = 2020-06-02 |isbn = 978-0-511-75101-1 |miejsce = Cambridge |wydawca = Cambridge University Press |s = 467–500 | doi=10.1017/cbo9780511751011.020}}</ref>; jednak, ponieważ porządkowe funkcje użyteczności są definiowane tylko z dokładnością do przekształcenia monotonicznego, w teorii konsumenta istnieje niewielkie rozróżnienie między tymi dwoma pojęciami<ref name=":0" />.

W modelu, w którym konkurencyjni konsumenci optymalizują homotetyczne funkcje użyteczności przy ograniczeniu budżetowym, proporcje towarów pożądanych przez konsumentów będą zależały jedynie od cen względnych, a nie od dochodów czy rozmiarów skali. Przekłada się to na liniową [[Dochodowa krzywa konsumpcji|dochodową krzywa konsumpcji]] : nachylenie krzywych obojętności jest stałe wzdłuż promieni rozpoczynających się od punktu początkowego<ref name=":0" />. To znaczy, że [[krzywa Engla]] jest liniowa dla każdego dobra.

Co więcej, pośrednia funkcja użyteczności może być zapisana jako liniowa funkcja majątku (<math>w){: }</math>

: <math>v(p_x,p_y,w)=f(p_x,p_y) * w,</math>

co jest szczególnym przypadkiem formy polarnej Gormana. Dlatego też, jeśli wszyscy konsumenci mają preferencje homotetyczne (o tym samym współczynniku w odniesieniu do majątku), to [[Popyt zagregowany|zagregowany popyt]] można obliczyć poprzez uwzględnienie tylko jednego "reprezentatywnego„reprezentatywnego konsumenta"konsumenta”, który ma te same preferencje i ten sam zagregowany dochód<ref name=":0" />.

: <math>u(x,y) = \left(\left(\frac{x\over }{w_x}\right)^r + \left(\frac{y\over }{w_y}\right)^r\right)^{1/r}.</math>

: <math>u(a x,a y) = \left(a^r\left(\frac{x\over }{w_x}\right)^r + a^r\left(\frac{y\over }{w_y}\right)^r\right)^{1/r} = (a^r)^{1/r} \left(\left(\frac{x\over }{w_x}\right)^r + \left(\frac{y\over }{w_y}\right)^r\right)^{1/r} = a u(x,y).</math>

Wiadomo jednak, że w rzeczywistości wzorce konsumpcji zmieniają się wraz z zamożnością. Oznacza to, że preferencje nie są w rzeczywistości homotetyczne<ref>{{Cytuj |autor = Ingvild Almås, Anders Kjelsrud |tytuł = Rags and Riches: Relative Prices, Non-Homothetic Preferences, and Inequality in India |czasopismo = World Development |data = 2017-09 |data dostępu = 2020-06-02 |issn = 0305-750X |wolumin = 97 |s = 102–121 |doi = 10.1016/j.worlddev.2017.04.001}}</ref>. Wiadomo również, że zmiany cen względnych wpływają na ludzi w różny sposób, nawet jeśli wszyscy mają do czynienia z tym samym zestawem cen.<ref>{{Cytuj |autor = John Muellbauer |tytuł = Prices and Inequality: The United Kingdom Experience |czasopismo = The Economic Journal |data = 1974-03 |data dostępu = 2020-06-02 |wolumin = 84 |numer = 333 |s = 32 |doi = 10.2307/2230482 |url = https://academic.oup.com/ej/article/84/333/32-55/5236430}}</ref>.