Vanja Milinković-Savić swoją karierę rozpoczynał w austriackim klubie [[Grazer AK]], gdzie wraz z bratem [[Sergej Milinković-Savić|Sergejem]] grał w drużynach młodzieżowych. W tym czasie zawodnikiem Grazer AK był ich ojciec, Nikola Milinković<ref>{{Cytuj |tytuł = Nikola Milinković :: Nikola Milinković :: |data dostępu = 2019-01-31 |opublikowany = www.thefinalball.com |url = https://www.thefinalball.com/player.php?id=20251 |język = en}}</ref>. W 2006 roku Vanja wrócił do Serbii i związał się z klubem [[FK Vojvodina Nowy Sad|FK Vojvodina.]] Trafił do drużyny do lat 19, a następnie występował w drugiej drużynie<ref>{{Cytuj |tytuł = Vanja Milinković-Savić – Historia transferów |data dostępu = 2019-01-31 |opublikowany = www.transfermarkt.pl |url = http://www.transfermarkt.pl/vanja-milinković-savić/transfers/spieler/257474/transfer_id/1341673 |język = pl}}</ref>. 2 kwietnia 2014 roku podpisał swój pierwszy profesjonalny kontrakt z FK Vojvodina, po czym 1 lipca tego samego roku ogłoszono, że wychowanek serbskiego klubu przechodzi do [[Manchester United F.C.|Manchesteru United]] za kwotę 1,75 mln euro<ref>{{Cytuj |tytuł = Vanja Milinković-Savić – Historia transferów |data dostępu = 2019-01-31 |opublikowany = www.transfermarkt.pl |url = http://www.transfermarkt.pl/vanja-milinković-savić/transfers/spieler/257474/transfer_id/1063320 |język = pl}}</ref>. Podpisał pięcioletni kontrakt z angielskim zespołem i natychmiast został wypożyczony do Vojvodiny w barwach, której zadebiutował w serbskiej ekstraklasie w wygranym 3:0 meczu z [[OFK Beograd|OFK Belgrad]]<ref>{{Cytuj |autor = Wirtualna Polska Media |tytuł = Vanja Milinković-Savić: W Manchesterze United grałem tylko w juniorach. W Lechii chce walczyć o pierwszy skład – WP SportoweFakty |data = 2016-01-13 |data dostępu = 2019-01-31 |opublikowany = sportowefakty.wp.pl |url = https://sportowefakty.wp.pl/pilka-nozna/571683/vanja-milinkovic-savic-w-manchesterze-united-gralem-tylko-w-juniorach-w-lechii-c |język = pl}}</ref><ref>{{Cytuj |tytuł = FK Vojvodina Novi Sad – OFK Belgrad, 10 sie 2014 – SuperLiga – Protokół meczowy |data dostępu = 2019-01-31 |opublikowany = www.transfermarkt.pl |url = http://www.transfermarkt.pl/spielbericht/index/spielbericht/2482487 |język = pl}}</ref>. Po sezonie 2014/2015 miał dołączyć do Manchesteru United, nie udało się tego zrealizować ponieważ nie dostał pozwolenia na pracę<ref>{{Cytuj |autor = Samuel Luckhurst |tytuł = Manchester United terminate goalkeeper's contract after 18 months |data = 2015-11-27 |data dostępu = 2019-01-31 |opublikowany = men |url = http://www.manchestereveningnews.co.uk/sport/football/football-news/manchester-united-transfer-news-milinkovic-10512578}}</ref>. W związku z powyższym angielski klub rozwiązał umowę z Vanją, a ten na zasadzie wolnego transferu dołączył do [[Lechia Gdańsk (piłka nożna)|Lechii Gdańsk]]. Umowę podpisano 1 stycznia 2016 roku i miała obowiązywać przez 4,5 roku<ref>{{Cytuj |tytuł = Vanja Milinković-Savić – Historia transferów |data dostępu = 2019-01-31 |opublikowany = www.transfermarkt.pl |url = http://www.transfermarkt.pl/vanja-milinković-savić/transfers/spieler/257474/transfer_id/1376881 |język = pl}}</ref>. W barwach gdańskiego klubu zadebiutował w spotkaniu [[Ekstraklasa w piłce nożnej|Ekstraklasy]] wygranym 5:1 z [[Jagiellonia Białystok|Jagiellonią Białystok]]<ref>{{Cytuj |tytuł = Lechia Gdańsk 5-1 Jagiellonia Białystok |data dostępu = 2019-01-31 |opublikowany = www.90minut.pl |url = http://www.90minut.pl/mecz.php?id_mecz=1139071}}</ref>. Po sezonie 2016/2017 Vanja dołączył do zespołu [[Serie A]], [[Torino FC]]<ref>{{Cytuj |tytuł = Vanja Milinković-Savić od lipca w Torino FC |data dostępu = 2019-01-31 |opublikowany = www.90minut.pl |url = http://www.90minut.pl/news/274/news2745851-Vanja-Milinkovic-Savic-od-lipca-w-Torino-FC.html}}</ref>. Umowa opiewała na kwotę 2,60 mln euro, a kontrakt ma obowiązywać do 2020 roku<ref>{{Cytuj |tytuł = Vanja Milinković-Savić – Historia transferów |data dostępu = 2019-01-31 |opublikowany = www.transfermarkt.pl |url = http://www.transfermarkt.pl/vanja-milinković-savić/transfers/spieler/257474/transfer_id/1692680 |język = pl}}</ref>. Bramkarz zadebiutował w nowym zespole w spotkaniu ligowym wygranym 2:1 przeciwko [[Genoa CFC]]<ref>{{Cytuj |tytuł = FC Genoa 1893 – Torino FC, 20 maj 2018 – Serie A – Protokół meczowy |data dostępu = 2019-01-31 |opublikowany = www.transfermarkt.pl |url = http://www.transfermarkt.pl/spielbericht/index/spielbericht/2897545 |język = pl}}</ref>. Był to jego czwarty, ale jedyny ligowy występ w barwach Torino FC. Na kolejny sezon został wypożyczony do [[SPAL 2013]], innego zespołu Serie A. Zadebiutował w spotkaniu przeciwko [[AS Roma]], który jego drużyna wygrała 2:0<ref>{{Cytuj |tytuł = AS Roma – SPAL, 20 paź 2018 – Serie A – Protokół meczowy |data dostępu = 2019-01-31 |opublikowany = www.transfermarkt.pl |url = http://www.transfermarkt.pl/spielbericht/index/spielbericht/3081049 |język = pl}}</ref>. Po rundzie jesiennej sezonu 2018/2019 i łącznie trzech występach w barwach SPAL, władze Torino FC oraz sam zawodnik zdecydowali się na wypożyczenie do drużyny [[Serie B]], [[Ascoli Picchio FC 1898|Ascoli Calcio]]<ref>{{Cytuj |autor = AIP |tytuł = Vanja Milinković Savić wypożyczony z Torino. Były piłkarz Lechii Gdańsk zagra w Serie B |data dostępu = 2019-01-31 |opublikowany = Dziennikbaltycki.pl |url = https://dziennikbaltycki.pl/vanja-milinkovic-savic-wypozyczony-z-torino-byly-pilkarz-lechii-gdansk-zagra-w-serie-b/ar/13851218#sport |język = pl}}</ref>.
