Wikipedysta:GustawT/brudnopis

Matematyzacja – porządkowanie rzeczywistości za pomocą środków matematycznych, jedna z aktywności matematycznych,istotna składowa kompetencji matematycznej ^[5] . 

Definicja matematyzacji

Hans Freudenthal ogólnie charakteryzuje matematyzację w następujący sposób: Szablon:CytatD

Jeżeli aktywność matematyzowania interpretujemy dostatecznie szeroko, to mówimy o matematyzacji matematyki^[3] oraz o matematyzacji w nauczaniu ^[4]. 

         Matematyzacja matematyki

Wg Hansa Freudenthala matematykę matematyzuje się następująco: Szablon:CytatD  Matematyzacja jakiejś nauki nie oznacza (…) Szablon:CytatD Zdaniem Anny Zofii Krygowskiej matematyzacją matematyki w szrokim znaczeniu jest konstruowanie systemów aksjomatycznych dla dziedzin matematyki, które wcześniej tych systemów formalnych nie posiadały, np. dla arytmetyki, geometrii, topologii, algebry abstrakcyjnej i tak dalej ^[4].

Rezultatem matematyzacji matematyki na wysokim poziomie jest dziś teoria kategorii ^[4].

Matematyzacja matematyki w węższym zakresie, tzw. lokalna matematyzacja matematyki może polegać na procesie przekształcania, precyzowania definicji, wraz z rozwojem danego działu matematyki. Np. formowanie na przestrzeni dziesięcioleci definicji krzywej od klasycznej aż do topologicznej ^[4]. Proces trwał długo, ponieważ definicje okazywały się zbyt szerokie lub zbyt wąskie w stosunku do tego, co matematyk „chciał nazwać krzywą” (formalna matematyzacja pewnej idei matematycznej)^[4].

   Z matematyzacją matematyki mamy również do czynienia w przypadku schematyzowania, które z kolei implikuje zjawisko uogólniania matematycznego – pomijania pewnych parametrów w tworzonych schematach matematycznych w celu uzyskania schematów ogólniejszych ^[2].

Osobny artykuł: uogólnianie matematyczne.

Matematyzacja w nauczaniu

Anna Zofia Krygowska matematyzacją w nauczaniu nazywa konstrukcję matematycznego schematu dla pewnego układu stosunków, ujętego poprzez analizę rzeczywistej, wyobrażonej lub abstrakcyjnej sytuacji bądź konstrukcję jeszcze na wpół poglądowego schematu myślowego, który w dalszym ciągu nauki mógłby być przekształcony i włączony do pełnego już schematu matematycznego ^[7]. Innymi słowy, matematyzacja jest konstrukcją matematycznego schematu bądź schematu, na wpół poglądowego nadającego się do opisu pozamatematycznej sytuacji problemowej w języku matematyki i w konsekwencji rozwiązania zmatematyzowanego problemu za pomocą aparatu matematycznego związanego ze skonstruowanym schematem ^[8].

       Gustaw Treliński konkretyzując powyższe określenie matematyzacją nazywa niededukcyjne rozumowanie, które rozpoczyna się badaniem danej sytuacji (realnej, wyobrażonej, abstrakcyjnej), dalej obejmuje czynności związane z wydzielaniem w tej sytuacji obiektów i związków między nimi, ich reprezentowanie w różny sposób i wreszcie ich opisywanie językiem matematyki. Otrzymany opis, to schemat (model) matematyczny tej sytuacji ^{[9] [10]}.  

Aktywność matematyzowania w nauczaniu

Warunkiem tego - wg. Zofii Krygowskiej - aby to, co nazywamy matematyzacją w nauczaniu, można było uznać za aktywność typu matematycznego jest: 1) dokonuje się jej środkami matematycznymi (…),  2) odróżnia się dokładnie dziedzinę, którą się matematyzuje, od jej schematu, który jest wynikiem tej matematyzacji^[4].

W procesie matematyzacji w nauczaniu istotne są:

punkt wyjścia – sytuacja problemowa (rzeczywista, matematyczna, abstrakcyjna), jej eksploracja, punkt dojścia - matematyczny schemat (model) sytuacji oraz tok przejścia - system działań od punktu wyjścia do punktu dojścia, wykorzystujących arsenał środków matematycznych (reprezentowanie sytuacji - jej fragmentu - rysunkiem, symbolem, schematem, studium reprezentacji, aksjomatyka sytuacji) ^[10].  Ich sekwencja to aktywność matematyzowania, istotna składowa kompetencji matematycznej ^{[11] [5]}.

Eksploracja sytuacji zadaniowej – punkt wyjścia

Punktem wyjścia matematyzacji (rozumowania) w nauczaniu matematyki jest zazwyczaj sytuacja zadaniowa. Może ona mieć różny charakter, np. teoretyczny (m.in. zadanie geometryczne, probabilistyczne), praktyczny, realistyczny (układ fenomenów). Może być zadana graficznie, manipulacyjnie, opisana słownie bądź symbolicznie^[12].

Badanie sytuacji zadaniowej to system działań obejmujący: • wstępne zapoznanie się z sytuacją, • wykrywanie i identyfikowanie obiektów, cech, procesów oraz regularności, • przyjmowanie założeń dodatkowych, założeń upraszczających (strukturujących daną sytuację), a także hipotez o przypuszczalnych przyczynach i przebiegu procesów, • wybór danych oraz zmiennych (np. opisujących procesy), określenie ich wagi (np. istotne, trywialne, poboczne) oraz zakresów^{[13 ]}.   Każde z tych działań powinno być elementem jawnej, poprawnej strategii nauczania ^[12].

Aktywność przejścia

Matematyzacja prymitywna

Anna Zofia Krygowska zauważyła, iż nie zawsze uczeń jest w stanie od razu dokonać właściwej matematyzacji sytuacji realnej ^[14]. Uczniowie często stosują pewne konstrukcje myślowe, których nie można nazwać matematyzacją ze względu na ich prymitywny charakter, lecz stanowią istotny etap na drodze do właściwej matematyzacji – nazwała to matematyzacją prymitywną ^[14].

Matematyzacja prymitywna (inaczej: matematyzacja wstępna lub matematyzacja poglądowa) – konstrukcja schematu myślowego dla pewnego układu stosunków, którego nie można uznać jeszcze za schemat matematyczny włączony do pewnej teorii matematycznej, lecz którego konstrukcja jest od początku ukierunkowana na właściwą późniejszą matematyzację ^[14] . Zatem matematyzacja prymitywna jest konstrukcją połowicznie poglądowego schematu myślowego, który w dalszym procesie nauki zostanie przekształcony i włączony do spójnego schematu matematycznego ^[7].

Konstruowany poglądowy schemat myślowy może mieć formę konkretnego: a) schematu manipulacyjnego (przykładowo uczeń wybiera konkretne przedmioty reprezentujące rozważane obiekty, manipuluje nimi przelicza itp.), b) schematu  graficznego (są to m.in. obrazy, rysunki, diagramy ) i wreszcie c) schematu werbalnego (opis językiem danej sytuacji itp.) ^[10]. Taki połowicznie poglądowy schemat myślowy, w dalszym procesie nauki bywa przekształcony i włączony do spójnego schematu matematycznego ^[10].

Zdaniem Krygowskiej matematyzacja prymitywna jest nie mniej ważna od matematyzacji właściwej ^[14] . Uczniowskie błędy popełnione na etapie matematyzacji prymitywnej mają bardzo głębokie konsekwencje i stanowią źródło wielu trudności uczniów w rozumieniu pojęć matematycznych ^[14].

Horyzontalna i wertykalna składowe matematyzacji

Jak akcentuje Z. Semadeni: Wiedza matematyczna powstaje w umyśle dziecka w wyniku długoletniego procesu, w którym podstawową rolę pełnią samodzielnie wykonywanie czynności^{[15 ]}.  Ich punktem wyjścia mogą być sytuacje realne, konkretne przedmioty i wielkości oraz zależności między nimi^[16].  Są one  badane, m.in. przeliczane, zestawiane, schematyzowane, idealizowane, formalizowane. W efekcie tego  tworzy się poglądowy schemat myślowy, reguła postępowania (np. pojęcie funkcji, ostrosłupa, czy związek między mnożeniem i potęgowaniem)^[16]. Takie działania są typowe dla matematyzacji horyzontalnej ^{[ 16 ]}.

W kolejnym etapie, przedmiotem zainteresowania ucznia stają się już wytworzone pojęcia oraz reguły operowania nimi^[17]. Zbiory, pojęcia, schematy postępowania (np. algorytmy) są razem zestawiane, przekształcane, rozbudowywane; w wyniku tych czynności powstają nowe pojęcia, twierdzenia, reguły, bardziej abstrakcyjne niż wyjściowe (np. pojęcie miary i mierzenia, własności wielomianów). Takie działania i aktywności są charakterystyczne dla matematyzacji wertykalnej^[17]. To, co zostaje uzyskane dzięki matematyzacji horyzontalnej ma służyć rozpoznawaniu zależności i struktur matematycznych ^{[ 17 ]}.

Efektywne uczenie się matematyki wymaga wielokrotnego „przebywania drogi” od sytuacji realnej do matematyki, od obiektów opisanych językiem matematyki (modeli matematycznych) do obiektów matematycznie przetworzonych i z powrotem; nie jest to wyłącznie „przechodzenie” w jednym kie­runku ^[17]. Wielokrotne powroty do rzeczywistości w sytuacjach nauczania są wprost niezbędne ^[17].

Styl nauczania nastawionego na przekaz wiedzy (nabywanie sprawności w posługiwaniu się „gotowymi” pojęciami, wzorami, regułami) redukuje działania typowe dla składowej wertykalnej matematyzacji^{[11 ]}.

Wyidealizowana konkretyzacja

Matematyzacja sytuacji realnej, tzn. przyjęcie pewnego modelu matematycznego odpowiadającego sytuacji realnej, często wymaga dokonania pewnej idealizacji tej sytuacji ^{[18] [19]}. Na przykład zakłada się, że pewien ciąg operacji jest nieskończony, mimo że w rzeczywistości takie nieskończone ciągi nie istnieją, albo zakłada się, że pewne dwie wielkości są równe, mimo że w rzeczywistości nie są idealnie równe ^[18]. Konstruowanie wyidealizowanego modelu matematycznego dla sytuacji realnej nazywa się wyidealizowaną konkretyzacją ^[18].

Anna Zofia Krygowska opisała znaczenie wyidealizowanej konkretyzacji w procesie nauczania–uczenia się matematyki następująco: Szablon:CytatD

Konieczność idealizacji widoczna jest szczególnie w matematyzowaniu sytuacji realnych w kierunku geometrii, ponieważ już w czasach pitagorejskich geometria była traktowana jako „nauka o rzeczach nieistniejących” ^[20]. Na przykład – styczna do okręgu, według teorii czysto matematycznej, jest prostą, która ma dokładnie jeden punkt incydencji z okręgiem, natomiast na uczniowskim rysunku część wspólna tych dwóch obiektów zawsze będzie miała pewną „długość”^[20]. Nauczyciel w takiej sytuacji może odruchowo (i błędnie) wytłumaczyć, że wynika to z niedokładności rysunku, a rysunek wykonany cieńszymi liniami byłby bliższy „sytuacji realnej”^[20]. Właściwym wytłumaczeniem jest fakt, iż pojęcia geometryczne są jedynie abstrakcyjnymi schematami upraszczającymi i idealizującymi rzeczywistość ^[20]. Rumuński podręcznik z końca lat 50. do klasy VI obrazuje geometrię jako dobieranie pewnych wyidealizowanych, uproszczonych modeli matematycznych dla pewnych sytuacji realnych, poprzez następujące zadanie^[21]: Szablon:CytatD

Matematyzacja w praktyce szkolnej

Wg H. Freudenthala matematyzowanie, to aktywność specyficzna nie tylko dla samej matematyki, a także coś ważnego na poziomie szkolnym. Wręcz Nie ma matematyki bez matematyzacji ^{[ 1 ]}. Poza edukacją matematyczną, matematyzacja nie ma odpowiedników w innych obszarach działalności ucznia ^{[ 22 ]}.

Mirosław Dąbrowski stwierdza: Matematyzowanie to jedna z najważniejszych, ale i najtrudniejszych umiejętności matematycznych, rozwijanych w procesie kształcenia^{[23 ]}.

Praktyka pokazuje, jak podkreśla Zofia Krygowska:

Aktywność matematyzowania powinna być „jawnym” elementem każdej strategii nauczania, jako składowa kompetencji matematycznej oraz postulowany cel kształcenia ogólnego w szkole^[10].  M.in. Zbigniew Semadeni, w odniesieniu do klas początkowych,  ujmuje go następująco:

Należy uznać

Spontaniczna matematyzacja _{[edytuj | edytuj kod]}

    Nie ma wątpliwości, że Szablon:CytatD Badania naukowe wskazują na to, iż już kilkuletnie dzieci są zdolne do podejmowania spontanicznej matematyzacji prymitywnej ^[28]. Na przykład – dziecko chce dowiedzieć się, za ile godzin będzie mogło obejrzeć dobranockę; wie, że dobranocka jest o godzinie 7, a od rodziców dowiedziało się, iż jest godzina 4 ^[29].  Spontanicznie, nienauczone tego przez żadną osobę dorosłą, prostuje siedem palców (odpowiada to godzinie transmisji dobranocki w telewizji), a następnie zgina 4 z wyprostowanych palców (co odpowiada aktualnej godzinie) ^[29]. Odpowiada: muszę poczekać trzy palcowe godziny ^[29]. Użyte przez dziecko sformułowanie palcowe godziny sugeruje, że dziecko ma świadomość, iż obliczanie godzin na palcach jest tylko pewnym modelem dla sytuacji rzeczywistego upływu czasu ^[29].  Rozróżnia także między sobą modele godzin palcowych i godzin zegarowych jako dwa różne modele tej samej sytuacji rzeczywistej ^[29].

         Edyta Gruszczyk-Kolczyńska stwierdza, że aktywność matematyzowania, w tym działania typu manipulacyjnego, czynności związane z przedstawianiem rysunkiem oraz słownym opisywaniem sytuacji zadaniowej są dostępne dzieciom klas początkowych pod warunkiem, że są osadzone w ich doświadczeniu ^{[ 30 ]} .

Anna Zofia Krygowska stwierdziła: Szablon:CytatD Gustaw Treliński postuluje, aby działania typowe dla aktywności matematyzowania - w edukacji szkolnej - powinny być podejmowane już od najmłodszych lat uczniów, ponieważ ich pomijanie w praktyce nauczania może prowadzić do zdegenerowanego formalizmu ^[9].  Akcentuje to także  Zofia Krygowska, dodatkowo zauważając, że brak matematyzacji czasem przemyca się pod płaszczykiem pseudomatematyzacji, której fałszywy schemat zapisany w umyśle dziecka jest w późniejszym etapie bardzo trudny do wyplenienia ^[31].  Niektórzy nauczyciele próbują uzasadniać brak matematyzacji błędnie rozumianą zasadą poglądowości w nauczaniu szkolnym ^[31].

Matematyzowanie jako strategia kształcenia języka

Matematyzacja w nauczaniu, to postępowanie dydaktyczne obejmujące konstruowanie ciągu schematów (matematyzacja horyzontalna, matematyzacja wertykalna)^[32] .Tworzenie każdego rodzaju schematu wymaga posługiwania się werbalnymi, graficznymi oraz symbolicznymi elementami języka w różnych ich kombinacjach. Każdy nowy termin (zbiór, liczba, odcinek, suma, przemienność dodawania itp.) jest kojarzony z systemem konkretnych czynności lub operacji, a symbol (pisany, obrazowy, czy dźwiękowy) z obiektem, który był osobiście przez ucznia konstruowany ^{[32 ]}.

W praktycznym działaniu tworzy się język matematyzacji ^{[32 ]},  zgodnie ze wskazaniem dydaktycznym sformułowanym przez A.Z. Krygowską  : Szablon:CytatD operatywne narzędzie opisywania sytuacji i związków ją konstytuujących ^[32] . Szablon:CytatD Matematyzowanie, jako strategia kształcenia języka matematyki i posługiwania się nim, przeciwdziała powstawaniu wadliwych konstrukcji językowych oraz ich niewłaściwemu interpretowaniu ^{[32 ]}.   Służy przełamywaniu szkolnej praktyki „biernego” opanowania języka;  praktyki, która bazuje na słownym wyjaśnianiu terminów bądź na odwołaniu się do ich etymologicznego znaczenia^[33]. Braki w tym zakresie generują wiele niepowodzeń szkolnych ^[34].

Niejednoznaczność matematyzacji

Matematyzacja sytuacji realnej nie jest jednoznaczna, tzn. dla danej rzeczywistej sytuacji na drodze rozmaitych matematyzacji można dobrać nierównoważne modele matematyczne ^[35] .

Przykładem nierównoważności modeli matematycznych utworzonych dla sytuacji realnej jest tzw. paradoks Bertranda ^[36]. Sytuacja realna brzmi: na okręgu w losowy sposób rysuje się cięciwę; jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana cięciwa będzie dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg?^[36]. Aby móc zastosować teorie rachunku prawdopodobieństwa, sytuację realną należy zmatematyzować, tzn. ustalić matematycznie sposób „losowania” cięciwy^[36]. Można to zrobić na trzy sposoby^[36].

Model pierwszy.

Cięciwa jest dłuższa od boku trójkąta, gdy kąt środkowy ma miarę większą od ${\frac {2\pi }{3}}$^[36]. W tym modelu prawdopodobieństwo wylosowania „dłuższej cięciwy” wynosi ${\frac {1}{3}}$^[36].

Ilustracja działania pierwszego sposobu matematyzacji opisanej sytuacji rzeczywistej.

Model drugi.

Cięciwa jest dłuższa od boku trójkąta, gdy odległość środka cięciwy od środka okręgu jest mniejsza od połowy promienia okręgu^[36]. W tym modelu prawdopodobieństwo wylosowania „dłuższej cięciwy” wynosi ${\frac {1}{2}}$^[36].

Ilustracja działania drugiego sposobu matematyzacji opisanej sytuacji rzeczywistej.

Model trzeci.

Cięciwa jest dłuższa od boku trójkąta, gdy środek cięciwy znajduje się wewnątrz koła o tym samym środku, co środek okręgu i promieniu o połowie mniejszym. W tym modelu prawdopodobieństwo wylosowania „dłuższej cięciwy” wynosi ${\frac {1}{4}}$^[36].

Ilustracja działania trzeciego sposobu matematyzacji opisanej sytuacji rzeczywistej.

Istnieją trzy różne odpowiedzi na to samo pytanie – prawdopodobieństwo wylosowania takiej cięciwy może wynosić zarówno $1/3,$ $1/2,$ jak i $1/4$ i każda z tych odpowiedzi jest równie poprawna w swoim modelu matematycznym^[36]. Każdy model matematyczny w procesie matematyzacji inaczej precyzował pojęcie losowego rysowania cięciwy, więc każdy z tych modeli wygenerował odpowiedź odpowiadającą wybranemu sposobowi losowania (w każdej z trzech matematyzacji inaczej zdefiniowano przestrzeń probabilistyczną, co poskutkowało różnymi wynikami)^[36]. To znaczy, że nie można identyfikować schematu matematycznego z rzeczywistością ^[35]. Sposoby matematyzacji tego samego problemu mogą być absolutnie nierównoważne i wręcz niemożliwe do skoordynowania między sobą – są to sprzeczne reprezentacje matematyczne tej samej rzeczywistości ^[35] .

Przypisy

1.   ↑ ^{Skocz do:a b c d e} Hans Freudenthal, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Klett, Stuttart 1973, tom II, s. 49.

2.  ↑ ^{Skocz do:a b} Wanda Nowak, Konwersatorium z dydaktyki matematyki, PWN, Warszawa 1989, ​ISBN 83-01-08536-3​, s. 212.

3.  ↑ ^{Skocz do:a b c} Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, tom I, WSiP, Warszawa 1979, s. 78.

4.  ↑ ^{Skocz do:a b c d e} Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, tom I, WSiP, Warszawa 1979, s. 79.

5.    Mogens Allan Niss,  Quantitative Literacy and Mathematical Competencies, w: Madison B. L., Steen L. A.  (red.), Quantitative Literacy: Why Numeracy Matters for Schools and Colleges, Proceedings of the National Forum on Quantitative Literacy,2003,  s. 218-219.

6. Jean Bernard Racine, Henri Reymond, Analiza ilościowa w geografii, PWN, Warszawa 1977, s. 124.

7.    ↑ ^{Skocz do:a b c} Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, tom I, WSiP, Warszawa 1979, s. 48.

8.   ↑ Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, tom III, WSiP, Warszawa 1979, s. 57.

9.  ↑ ^{Skocz do:a b} Gustaw Treliński, Matematyzowanie jako składowa kompetencji matematycznej, Współczesne problemy nauczania matematyki, [dostęp 2020-07-23], s. 68.

10.   Gustaw Treliński, Zintegrowana edukacja wczesnoszkolna, 3 x M – Matematyka, Modelowanie,  Metodyka, Naukowe Wydawnictwo Piotrkowskie, Piotrków Trybunalski 2011, s. 66-67.

11.  Gustaw Treliński, Zintegrowana edukacja wczesnoszkolna, 3 x M – Matematyka, Modelowanie,   Metodyka, Naukowe Wydawnictwo Piotrkowskie, Piotrków Trybunalski 2011, s. 83

12. ↑ ^{Skocz do:a b} Gustaw Treliński, Matematyzowanie jako składowa kompetencji matematycznej, Współczesne problemy nauczania matematyki, [dostęp 2020-07-23], s. 71-72.

13. Gustaw Treliński, Stosowanie matematyki jako problem dydaktyki matematyki, Wydawnictwo Naukowe WSP, Kraków 1982, s. 42-44.

14.  ↑ ^{Skocz do:a b c d e} Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, tom I, WSiP, Warszawa 1979, s.  49.

15.  Zbigniew Semadeni, Edyta Gruszczyk-Kolczyńska, Gustaw Treliński, Beata Bugajska-Jaszczołt, Monika Czajkowska,  Matematyczna edukacja wczesnoszkolna Teoria i praktyka, Wydawnictwo Pedagogiczne ZNP, Kielce 2015, s. 14-15

16.  Gustaw Treliński, Zintegrowana edukacja wczesnoszkolna, 3 x M – Matematyka, Modelowanie,  Metodyka, Naukowe Wydawnictwo Piotrkowskie, Piotrków Trybunalski 2011, s. 68 -69.

17. Gustaw Treliński, Zintegrowana edukacja wczesnoszkolna, 3 x M – Matematyka, Modelowanie,   Metodyka, Naukowe Wydawnictwo Piotrkowskie, Piotrków Trybunalski 2011, s. 69-70.

18.   ↑ ^{Skocz do:a b c d e f g} Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, tom III, WSiP, Warszawa 1979, s. 56.

19. ↑ ^{Skocz do:a b} Gustaw Treliński, Matematyzowanie jako składowa kompetencji matematycznej, Współczesne problemy nauczania matematyki, [dostęp 2020-07-23], s. 68.

20.  ↑ ^{Skocz do:a b c d} Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, tom I, WSiP, Warszawa 1979, s. 53.

21.  ↑ ^{Skocz do:a b} Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, tom I, WSiP, Warszawa 1979, s. 54.

22. ↑ ^{Skocz do:a b c d} Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, tom I, WSiP, Warszawa 1979, s. 52.

    23. Mirosław Dąbrowski , Pozwólmy dzieciom myśleć, CKE, Warszawa 2008, s. 89.

   24. ↑ ^{Skocz do:a b c d} Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, tom 3, WSiP, Warszawa 1979, s. 87.

   25. Zbigniew Semadeni, Edyta Gruszczyk-Kolczyńska, Gustaw Treliński, Beata Bugajska-Jaszczołt, Monika Czajkowska,  Matematyczna edukacja wczesnoszkolna Teoria i praktyka, Wydawnictwo Pedagogiczne ZNP, Kielce 2015, s. 11

26. Gustaw Treliński, Zintegrowana edukacja wczesnoszkolna, 3 x M – Matematyka, Modelowanie,  Metodyka, Naukowe Wydawnictwo Piotrkowskie,  Piotrków Trybunalski 2011, s. 80.

27. Alan W. Bell, The learning of proces aspects of mathematics, Educational Studies in Mathematics 1979 0(3), s. 380.                

28.   ↑ Aleksandra Urbańska, Jak dziecko matematyzuje swoje otoczenie?, 11th Slovak-Czech-Polish Mathematical School, 2004 [dostęp 2020-07-23], s. 1.

29.   ↑ ^{Skocz do:a b c d e} Aleksandra Urbańska, Jak dziecko matematyzuje swoje otoczenie?, 11th Slovak-Czech-Polish Mathematical School, 2004 [dostęp 2020-07-23], s. 2.

30. Edyta Gruszczyk- Kolczyńska,  Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki, WSiP, Warszawa 2007, s. 84-91

31.  ↑ ^{Skocz do:a b c} Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, tom I, WSiP, Warszawa 1979, s. 89.

  32. Gustaw Treliński, Zintegrowana edukacja wczesnoszkolna, 3 x M – Matematyka, Modelowanie,  Metodyka, Naukowe Wydawnictwo Piotrkowskie, Piotrków Trybunalski 2011, s. 80.

33. Gustaw Treliński, Zintegrowana edukacja wczesnoszkolna, 3 x M – Matematyka, Modelowanie,  Metodyka, Naukowe Wydawnictwo Piotrkowskie, Piotrków Trybunalski 2011, s. 74.

34. Gustaw Treliński, Stosowanie matematyki jako problem dydaktyki matematyki, Wydawnictwo Naukowe WSP, Kraków 1982, s. 39.

35 ↑ ^{a b c d e f g} Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, tom III, WSiP, Warszawa 1979, s. 56.

36. ↑ ^{a b c d e f g h i j k} Jacek Jakubowski, Paradoksy rachunku prawdopodobieństwa, Delta, 1992 [dostęp 2020-07-23].

Przypisy

Kategoria:Dydaktyka matematyki Kategoria:Hasła rozbudowane w ramach akcji Wikipedia na zastępstwie