Prawo stygnięcia: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
rozbud (w trakcie) |
rozbud. (wyprowadzenia) |
||
Linia 1:
__TOC__
=== Definicja ===
'''Prawo stygnięcia''' ('''prawo stygnięcia Newtona''') mówi, że:
: "Szybkość z jaką [[układ termodynamiczny|układ]] stygnie jest proporcjonalna do różnicy temperatur pomiedzy układema [[otoczenie termodynamiczne|otoczeniem]]."
Matematycznie można to wyrazić jako:
Linia 18 ⟶ 20:
gdzie ΔT(0) - początkowa różnica temperatur.
Stałość
# "otoczenie" ma nieskończenie wielką [[pojemność cieplna|pojemność cieplną]], lub # temperatura otoczenia utrzymywana jest za przez W praktyce stałość temperatury otoczenia można uzyskać przez użycie takich warunków eksperymentalnych jak:
* [[łaźnia wodna]] lub [[łaźnia olejowa|olejowa]] ([[termostat|termostatowanie]])
* [[woda|wody]] z [[lód|lodem]] (stała temperatura 0°C),
* [[wrzenie|wrząca]] woda przy [[ciśnienie standardowe|ciśnieniu standardowym]] (stała temperatura 100°C) itp.
=== Stygnięcie przy zmiennej temperaturze otoczenia ===
Jeżeli stygnący układ i '''bezpośrednie otoczenie''' układu są odizolowane od otoczenia termodynamicznego, wówczas można łatwo pokazać, że '''prawo stygnięcia Newtona''' pozostaje słuszne, pomimo tego że temperatura otoczenia układu nie jest stała.
Najprościej można sobie wyobrazić 2 układy [[układ izolowany termodynamicznie|odizolowane termicznie]] od otoczenia a w kontakcie ze sobą poprzez przegrodę. Wnętrza obu układów mają jednorodny rozkład temperatury (uzyskuje się np. poprzez mieszanie lub gdy szybkość przepływu ciepła przez przegrodę jest dużo mniejsza niż przepływ wewnątrz obu układów).
Przepływ ciepła przez przegrodę zależy od różnicy temperatur obu układów:
:<math>\frac{dQ_{1}}{dt} = -k_{q} (T_{1} - T_{2})</math>
Oba układy są izolowane od otoczenia, a więc:
:<math>\frac{dQ_{2}}{dt} = - \frac{dQ_{1}}{dt}</math>
Różnice pojemności cieplnej obu układów (inna [[masa]], m, i inne [[ciepło właściwe]], C<sub>w</sub>), powodują że ta sama ilość ciepła (energii) zmienia temperaturę w różny sposób:
:<math>dQ_{2} = -dQ_{1}</math>
:<math>dQ_{1} = m_{1}C_{w,1} dT_{1}</math>
:<math>dQ_{2} = m_{2}C_{w,2} dT_{2}</math>
a także:
:<math>\frac{dT_{1}}{dT_{2}} = -\frac{m_{2}C_{w,2}}{m_{1}C_{w,1}} = const</math>
:<math>(T_{1}-T_{eq}) = - (T_{2}-T_{eq}) \frac{m_{2}C_{w,2}}{m_{1}C_{w,1}} </math>
:gdzie temperatura końcowa T<sub>eq</sub> jest funkcją temperatur początkowych T<sub>1,o</sub> i T<sub>2,o</sub> oraz pojemności cieplnych układów:
::<math>T_{eq}= \frac{T_{1,o} + T_{2,o} \frac{m_{2}C_{w,2}}{m_{1}C_{w,1}} }{1 + \frac{m_{2}C_{w,2}}{m_{1}C_{w,1}} }</math>
Stąd:
:<math>\frac{dT_{1}}{dt} = -\frac{k_{q}}{m_{1}C_{w,1}} (T_{1} - T_{2}) = -\frac{k}{m_{1}C_{w,1}} \Delta T</math>
:<math>\frac{dT_{2}}{dt} = -\frac{k_{q}}{m_{2}C_{w,2}} (T_{2} - T_{1}) = \frac{k}{m_{2}C_{w,2}} \Delta T</math>
:gdzie ΔT jest róznicą temperatur układów "1" i "2":
::<math>\Delta T = T_{1}-T_{2}</math>
Skąd łatwo otrzymamy:
:<math>\frac{d\Delta T}{dt} = -k_{T,12} \Delta T</math>
gdzie:
* <math>k_{T,12} = k_{q} \left( \frac{1}{m_{1}Cw_{1}} + \frac{1}{m_{2}C_{w,2}}\right)</math>
I ostatecznie, ponownie:
:<math>T_{1}(t) - T_{2} = \Delta T (t) = \Delta T (0) \exp(-k_{T,12} t)</math>
:gdzie ΔT<sub>o</sub> jest początkową róznicą temperatur:
:: <math>\Delta T (0) = T_{1,o} - T_{2,o}</math>
oraz:
:<math>T_{1}(t) - T_{eq} = \frac{\frac{m_{2}C_{w,2}}{m_{1}C_{w,1}} }{1 + \frac{m_{2}C_{w,2}}{m_{1}C_{w,1}} } \Delta T (0) \exp(-k_{T,12} t)</math>
lub
:<math>T_{1}(t) = T_{eq} + (T_{1,o}-T_{2,o}) \frac{m_{2}C_{w,2}}{m_{1}C_{w,1} + m_{2}C_{w,2}} \exp(-k_{T,12} t)</math>
Wynik końcowy zgodny jest więc (co do charakteru przebiegu eksponencjalnego) z prawem stygnięcia Newtona dla stygnącego układu w kontakcie z otoczeniem o stałej temperaturze. To tłumaczy również sukces tego prostego prawa nawet gdy jego podstawowe założenia nie są spełnione.
| |||