Lemat Kuratowskiego-Zorna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m jeszcze latexowanie |
latex |
||
Linia 6:
;Definicje pojęć:
:Załóżmy, że <math>(P,\ \le)</math> jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Podzbiór <math>T\ </math> jest ''liniowo uporządkowany'', jeśli dla każdych <math>s,\ t\in T</math> zachodzi <math>s \le t</math> lub <math>t\le s</math>. Taki zbiór <math>T\ </math> ma ''górne ograniczenie'' <math>u\in P</math>, jeśli <math>t \le u</math> dla każdego <math>t\in T</math>. ''Element maksymalny'' zbioru <math>P\ </math> to takie <math>\ m</math>, że jedynym elementem <math>x\in P</math>, dla którego <math>m \le x</math> jest właśnie <math>\ x=m</math>.
Lemat Kuratowskiego-Zorna jest równoważny [[aksjomat wyboru|aksjomatowi wyboru]], w takim sensie, że każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego i z użyciem [[aksjomaty Zermelo-Fraenkela|aksjomatów Zermelo-Fraenkela]] z [[teoria mnogości|teorii mnogości]]. Jest to prawdopodobnie najbardziej użyteczny równoważnik aksjomatu wyboru i występuje w dowodach kilku twierdzeń o podstawowym znaczeniu. Ogólniej, istnieje większa liczba twierdzeń równoważnych Lematowi Kuratowskiego-Zorna, pojęciowo związanych nie tylko z teorią mnogości:
Linia 32:
Chcemy użyć lematu Kuratowskiego-Zorna, więc bierzemy <math>T</math> - liniowo uporządkowany podzbiór <math>P</math> i musimy pokazać, że <math>T</math> ma ograniczenie górne, czyli, że istnieje ''ideał'' <math>I</math> w <math>R</math>, który jest większy niż wszystkie elementy <math>T</math>, ale mniejszy niż <math>R</math> (inaczej nie byłby w <math>P</math>). Niech <math>I</math> będzie sumą wszystkich ''ideałów'' z <math>T</math>. <math>I</math> jest ideałem: jeśli <math>a</math> i <math>b</math> są elementami <math>I</math>, to istnieją dwa ideały <math>J</math> i <math>K</math> w <math>T</math> takie, że <math>a\in J</math> i <math>b\in K</math>. Ponieważ <math>T</math> jest uporządkowane liniowo to wiemy, że <math>J</math> jest podzbiorem <math>K</math> lub odwrotnie. W pierwszym przypadku, zarówno <math>a</math> jak <math>b</math> są elementami ideału <math>K</math>, stąd ich suma <math>a+b</math> jest elementem <math>K</math> co pokazuje, że <math>a+b</math> jest elementem <math>I</math>. W drugim przypadku, i <math>a</math> i <math>b</math> są elementami ideału <math>J</math>. Podobnie dochodzimy do wniosku, że <math>a+b</math> jest zawarte w <math>I</math>. Co więcej, jeśli <math>R</math> jest elementem <math>R</math>, wtedy <math>ar</math> i <math>ra</math> są elementami <math>J</math>, a więc również elementami <math>I</math>. Pokazaliśmy, że <math>I</math> jest ideałem w <math>R</math>.
A oto istota dowodu: dlaczego <math>I</math> jest mniejsze niż <math>R</math>? Decydujące jest to, że ideał jest równy <math>R</math> wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera <math>\mathbf{1}</math>
Sprawdzone zostało założenie lematu, a w wyniku otrzymaliśmy maksymalny element w <math>P</math>, innymi słowy maksymalny ideał w <math>R</math>.
| |||