Gaz Fermiego: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Energia wewnętrzna gazu fermiego |
||
Linia 1:
'''Gaz Fermiego''' jest to gaz nieoddziałujących ze sobą [[fermion|fermionów]]. Cząsteczki gazu są w takiej sutuacji opisywane przez [[Statystyka Fermiego-Diraca|statystykę Fermiego-Diraca]]. Najprostszy [[operator Hamiltona|hamiltonian]] dla takich nieoddziałujących fermionów w [[przestrzeń Focka|przestrzeni Focka]] można zapisać wykorzystując [[operatory kreacji i anihilacji]]:
:<math>\hat{H}=\sum_{n}\epsilon_{n}a^{\dagger}_{n}a_{n} = \sum_{n}(E _{n} + \mu)a^{\dagger}_{n}a_{n}</math>
gdzie
E<sub>n</sub> - energia n-tego stanu
ц - [[potencjał chemiczny]]
==Energia wewnętrzna gazu Fermiego==
Do dalszych obliczeń przyjmiemy ц = 0.
Średnia liczba fermionów w gazie fermiego:
:<math>N = \int _{0} ^{\infty} dE \rho(E) \frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}</math>
Gdzie
<math>\rho(E) = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \sqrt{E}</math> - [[gęstość stanów]]
m - masa fermionów
h - [[stała Plancka]]
V - objętość, w której znajdują się fermiony
<math>\frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}</math> - [[rozkład Fermiego-Diraca]]
<math>\beta = \frac{1}{k_{B}T}</math> - czynnik Boltzmanna
:<math>N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \int _{0} ^{\infty} dE \sqrt{E} \frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}</math>
Stosując proste podstawienie otrzymujemy:
:<math>N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \beta ^{-\frac{3}{2}} \int _{0} ^{\infty} dx
\frac{ x ^{ \frac{1}{2} } }{\exp( x ) + 1}</math>
Wartością powyższej całki jest funkcja [[eta Dirichleta]] od 3/2 <math>\eta \left(\frac{3}{2} \right)</math>. Ostatecznie otrzymujemy:
:<math>
N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} (k _{B}T) ^{\frac{3}{2}} \eta \left(\frac{3}{2} \right)
</math>
Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu fermiego:
:<math>U = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \int _{0} ^{\infty} dE \frac{ E^{\frac{3}{2}} }{\exp(\beta E ) + 1}</math>
Otrzymujemy:
:<math>
U = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} (k _{B}T) ^{\frac{5}{2}} \eta \left(\frac{5}{2} \right)
</math>
Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:
:<math>
U = \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) } N k_{B}T
</math>
Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.
[[Kategoria:Mechanika kwantowa]]
[[en:Fermi gas]]
| |||