Wikipedia

Pierścień z dzieleniem: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Konradek (dyskusja | edycje)
12 936 edycji
integracja, drobne redakcyjne
Konradek (dyskusja | edycje)
12 936 edycji
drobne redakcyjne
Linia 1:
{{Dopracować}}
{{spis treści}}
'''Pierścień z dzieleniem''' – [[pierścień (matematyka)|pierścień]] spełniający wszystkie [[aksjomat]]y [[ciało (matematyka)|ciała]] poza aksjomatem [[przemienność|przemienności]] [[mnożenie|mnożenia]]. Mimo, że opisywane tu pierścienie i algebry z dzieleniem posiadają łączne mnożenie, to rozważa się również [[Algebra z dzieleniem#Algebry niełączne|niełączne algebry z dzieleniem]], np. [[oktoniony]].
 
==Definicja==
PierścieńNietrywialny pierścień <math>R</math> nazywamy '''z dzieleniem''', gdy dlakażdy dowolnychniezerowy element <math>a, b \in R</math>, <math>aposiada \neelement 0</math>odwrotny ze względu na mnożenie, równaniatzn.
:<math>\forall_{0 \ne a \in R}\; \exists_{x \in R}\; ax = b</math> oraz <math>xa = b1</math>.
 
mają rozwiązanie. Pierścień ten ma jedynkę – wspólne rozwiązanie wszystkich równań <math>ax = a</math> i <math>xa = a</math>, a każdy niezerowy element <math>a</math> ma [[element odwrotny]] <math>a^{-1}</math> – wspólne rozwiązanie równań <math>ax = 1</math> i <math>xa = 1</math>.
W [[teoria kategorii|teoriokategoryjnym]] sensie jest to równoważne temu, aby wszystkie niezerowe [[morfizm]]y pierścieni były [[izomorfizm]]ami. Inaczej: pierścień jest pierścieniem z dzieleniem wtedy i tylko wtedy, gdy grupa elementów odwracalnych składa się z wszystkich niezerowych elementów.
 
'''Pierścień z dzieleniem''' jest zatem [[krotka|trójką uporządkowaną]] <math>(G, +, \cdot)</math> taką, że:
Linia 18 ⟶ 19:
===Uwagi===
Z formalnego punktu widzenia pierścień z dzieleniem jest siódemką uporządkowaną <math>(G, +, \cdot, -, \ ^{-1}, 0, 1)</math>, gdzie pierwszy element jest zbiorem i kolejne parami: [[działanie dwuargumentowe|działaniami dwuargumentowymi]], [[działanie jednoargumentowe|jednoargumentowymi]] (drugie częściowo określone), [[działanie zeroargumentowe|zeroargumentowymi]].
 
==Własności==
Można określić sporą część [[algebra liniowa|algebry liniowej]] opartej na [[moduł (matematyka)|modułach]] nad pierścieniami z dzieleniem zamiast [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych]] nad ciałami i nadal pozostaje ona spójna oraz niesprzeczna, Każdy moduł nad pierścieniem z dzieleniem ma bazę, przekształcenia liniowe między skończeniewymiarowymi modułami nad pierścieniami z dzieleniem mogą być opisywane za pomocą [[macierz]]y i można stosować algorytm [[metoda Gaussa|eliminacji Gaussa]].
 
[[Centrum (algebra)|Centrum]] pierścienia z dzieleniem jest przemienne, zatem jest ciałem. Każdy pierścień z dzieleniem jest więc [[algebra z dzieleniem|algebrą z dzieleniem]] nad swoim centrum. Pierścienie z dzieleniem mogą być ogólnie klasyfikowane według tego, czy są skończenie- czy też nieskończeniewymiarowe nad swoim centrami. W pierwszym przypadku nazywa się je '''centralnie skończonymi''', w drugim '''centralnie nieskończonymi'''. Każde ciało jest oczywiście jednowymiarowe nad swoim centrum.
 
==Przykłady==
* Dowolne [[ciało (matematyka)|ciało]] jest nietrywialnym pierścieniem z dzieleniem, w którym mnożenie jest przemienne.
* [[Kwaterniony]] <math>\mathbb H</math> (uogólnienie [[liczby zespolone|liczb zespolonych]]) są nieprzemiennym pierścieniem z dzieleniem. Pierścień kwaternionów jest czterowymiarową algebrą nad swoim centrum, które jest izomorficzne z liczbami rzeczywistymi.
* Jeśli zamiast [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] użyjemy do konstrukcji kwaternionów [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] otrzymamy jeszcze inny przykład pierścienia z dzieleniem.
* Ogólnie, jeżeli <math>S</math> jest [[moduł prosty|modułem prostym]] nad pierścieniem <math>R</math>, to [[pierścień endomorfizmów]] <math>S</math> jest pierścieniem z dzieleniem; co więcej: dowolny pierścień z dzieleniem jest określony w ten sposób nad pewnym modułem prostym.
 
==Twierdzenia==
; Twierdzenie (małe) [[Joseph Wedderburn|Wedderburna]] : Wszystkie skończone pierścienie z dzieleniem są przemienne, zatem są [[ciało skończone|ciałami skończonymi]] (istnieje prosty dowód dany przez [[Ernst Witt|Ernsta Witta]]).
; [[Twierdzenie Frobeniusa (algebry z dzieleniem)|Twierdzenie Frobeniusa]] : Jedyną skończeniewymiarową [[algebra z dzieleniem|algebrą z dzieleniem]] nad liczbami rzeczywistymi są [[liczby rzeczywiste]], [[liczby zespolone]] i kwaterniony.
 
==Nazwa==
Linia 31 ⟶ 43:
* [[pierścień (matematyka)|pierścień]],
* [[grupa (matematyka)|grupa]].
 
==Linki zewnętrzne==
*{{lang|en}} [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3627 Dowód twierdzenia Wedderburna na Planet Math]
 
{{Przypisy}}
Linia 37 ⟶ 52:
 
[[Kategoria:Teoria pierścieni]]
 
[[cs:Těleso (algebra)]]
[[de:Schiefkörper]]
[[es:Anillo de división]]
[[en:Division ring]]
[[fr:Corps (mathématiques)]]
[[it:Corpo (matematica)]]
[[nl:Delingsring (Ned) / lichaam (Be)]]
[[ja:斜体 (数学)]]
[[ru:Тело (алгебра)]]
[[zh:除环]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Pierścień_z_dzieleniem”