Ten artykuł należy dopracować:
0,(9) (lub 0,999… ) – alternatywny zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego . Równość
0
,
(
9
)
=
1
{\displaystyle 0{,}(9)=1}
Stylizowany zapis liczby 0,(9)
Dowód wykorzystuje przedstawienie ułamka
1
9
{\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}
0
,
(
1
)
.
{\displaystyle 0{,}(1).}
1
9
=
0
,
(
1
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{9}}=0{,}(1)}
0
,
(
9
)
=
9
⋅
0
,
(
1
)
=
9
⋅
1
9
=
1.
{\displaystyle 0{,}(9)=9\cdot 0{,}(1)=9\cdot {\frac {1}{9}}=1.}
Podobnie ułamek
3
9
=
1
3
{\displaystyle {\tfrac {3}{9}}={\tfrac {1}{3}}}
0
,
(
3
)
.
{\displaystyle 0{,}(3).}
0
,
(
9
)
=
3
⋅
0
,
(
3
)
=
3
⋅
1
3
=
1.
{\displaystyle 0{,}(9)=3\cdot 0{,}(3)=3\cdot {\frac {1}{3}}=1.}
W dowodzie można także wykorzystać dowolny rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch ułamków dziesiętnych nieskończonych, o których wiadomo, jakich ułamków zwykłych są rozwinięciem. Przykładowo:
0
,
(
9
)
=
0
,
(
1
)
+
0
,
(
8
)
=
1
9
+
8
9
=
1.
{\displaystyle 0{,}(9)=0{,}(1)+0{,}(8)={\frac {1}{9}}+{\frac {8}{9}}=1.}
Podobnie dla poniższych rozkładów
0
,
(
9
)
=
0
,
(
2
)
+
0
,
(
7
)
=
0
,
(
3
)
+
0
,
(
6
)
=
0
,
(
4
)
+
0
,
(
5
)
=
0
,
(
1
)
+
0
,
(
2
)
+
0
,
(
2
)
+
0
,
(
4
)
{\displaystyle 0{,}(9)=0{,}(2)+0{,}(7)=0{,}(3)+0{,}(6)=0{,}(4)+0{,}(5)=0{,}(1)+0{,}(2)+0{,}(2)+0{,}(4)}
Dowód polega na pomnożeniu liczby 0,(9) przez 10, odjęciu od otrzymanego wyniku 0,(9), a następnie na podzieleniu całości przez 9:
x
=
0,999
…
10
x
=
9,999
…
10
x
−
x
=
9,999
…
−
0,999
…
9
x
=
9
x
=
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=0{,}999\ldots \\10x&=9{,}999\ldots \\10x-x&=9{,}999\ldots -0{,}999\ldots \\9x&=9\\x&=1.\end{aligned}}}
Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego :
0
,
(
9
)
=
0
,
9
+
0
,
09
+
0,009
+
0,000
9
+
…
=
∑
n
=
1
∞
9
10
n
{\displaystyle 0{,}(9)=0{,}9+0{,}09+0{,}009+0{,}0009+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}}
i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym
a
1
=
9
10
,
q
=
1
10
,
{\displaystyle a_{1}={\frac {9}{10}},\,\,q={\frac {1}{10}},}
∑
n
=
1
∞
9
10
n
=
a
1
1
−
q
=
9
10
1
−
1
10
=
9
10
9
10
=
1.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}={\frac {a_{1}}{1-q}}={\frac {\frac {9}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {\frac {9}{10}}{\frac {9}{10}}}=1.}
Uwaga 1. Pierwszy dowód opiera się na algorytmie wyznaczania rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej .
Dla ułamków postaci
c
9
,
1
⩽
c
<
9
{\displaystyle {\frac {c}{9}},\,\,1\leqslant c<9}
10
⋅
c
9
=
c
+
c
9
,
{\displaystyle 10\cdot {\frac {c}{9}}=c+{\frac {c}{9}},}
z której wynika, że kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego powstające w trakcie stosowania algorytmu powtarzają się cyklicznie
c
0
=
0
,
c
1
=
c
2
=
c
3
=
…
,
{\displaystyle c_{0}=0,\quad c_{1}=c_{2}=c_{3}=\ldots ,}
1
9
=
0
,
(
1
)
,
2
9
=
0
,
(
2
)
,
3
9
=
0
,
(
3
)
,
…
8
9
=
0
,
(
8
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{9}}=0{,}(1),\quad {\frac {2}{9}}=0{,}(2),\quad {\frac {3}{9}}=0{,}(3),\quad \dots \quad {\frac {8}{9}}=0{,}(8).}
Ten algorytm zawodzi jednak dla ułamka
9
9
,
{\displaystyle {\tfrac {9}{9}},}
9
9
=
0
,
(
9
)
,
{\displaystyle {\frac {9}{9}}=0{,}(9),}
którą należy wykazać.
Uwaga 2. Dowód 2. jest zastosowaniem ogólnej metody zamiany na ułamek zwykły każdej liczby dziesiętnej okresowej z dowolnie długim okresem.
Uwaga 3. Ściśle biorąc, dwa pierwsze dowody, chociaż bardzo intuicyjne, korzystają implicite z pewnych własności szeregów zbieżnych :
jeśli
∑
i
a
i
{\displaystyle \sum _{i}a_{i}}
∑
i
k
⋅
a
i
{\displaystyle \sum _{i}k\cdot a_{i}}
∑
i
k
⋅
a
i
=
k
⋅
∑
i
a
i
,
{\displaystyle \sum _{i}k\cdot a_{i}=k\cdot \sum _{i}a_{i},}
jeśli
∑
i
a
i
,
∑
i
b
i
{\displaystyle \sum _{i}a_{i},\sum _{i}b_{i}}
∑
i
(
a
i
+
b
i
)
{\displaystyle \sum _{i}(a_{i}+b_{i})}
∑
i
(
a
i
+
b
i
)
=
∑
i
a
i
+
∑
i
b
i
.
{\displaystyle \sum _{i}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i}a_{i}+\sum _{i}b_{i}.}
