Apertura numeryczna

Apertura numeryczna (dla przyrządów optycznych zwykle apertura liczbowa), NA (od ang. numerical aperture) – wielkość fizyczna definiowana dla światłowodu jako sinus kąta stożka akceptacji, to znaczy maksymalnego kąta w stosunku do osi rdzenia włókna, pod którym światło wprowadzone do światłowodu nie będzie z tego włókna uciekać (z powodu niezachowania warunku dla całkowitego wewnętrznego odbicia). Dla przyrządu optycznego jest to sinus maksymalnego kąta, pod jakim fala może na niego padać lub z niego wychodzić.

Przyrządy optyczne

Apertura liczbowa soczewki w punkcie P zależy od maksymalnego kąta θ.

Dla przyrządów optycznych, na przykład soczewki lub obiektywu mikroskopu, apertura liczbowa opisana jest wzorem:

$NA=n\sin \theta ,$

gdzie:

$n$ – współczynnik załamania ośrodka, w którym znajduje się przyrząd,

$\theta$ – połowa maksymalnego kąta, pod którym światło może padać z punktu na przyrząd.

W mikroskopie apertura liczbowa ogranicza możliwą do otrzymania rozdzielczość. Żeby zwiększyć tę wartość, między próbkę a obiektyw wprowadza się ciecz imersyjną o dużym współczynniku załamania, aby apertura była większa niż 1.

Światłowody

W światłowodzie wielomodowym propagowane jest tylko światło, które zostało do niego wprowadzone pod odpowiednim kątem, nieprzekraczającym kąta akceptacji $\theta _{max}.$ Dla światłowodu o skokowym profilu współczynnika załamania kąt akceptacji wyraża się wzorem:

$n\sin \theta _{\mathrm {max} }={\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}},$

gdzie:

$n_{1}$ – współczynnik załamania w rdzeniu,

$n_{2}$ – współczynnik załamania w płaszczu,

$n$ – współczynnik załamania ośrodka, z którego wprowadzane jest światło.

Prawo Snelliusa na granicy ośrodek-rdzeń przybiera postać:

$n\sin \theta _{i}=n_{1}\sin \theta _{r}.$

Z trygonometrii wynika zależność (patrz rysunek obok):

$\sin \theta _{r}=\sin(90^{\circ }-\theta _{c})=\cos \theta _{c},$

gdzie $\theta _{c}=\arcsin \left({\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}\right)$ to kąt graniczny dla całkowitego wewnętrznego odbicia.

Podstawiając za $\sin \theta _{r}$ w prawie Snelliusa otrzymuje się:

${\frac {n}{n_{1}}}\sin \theta _{i}=\cos \theta _{c}.$

Po podniesieniu obu stron równania do kwadratu:

${\frac {n^{2}}{n_{1}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{i}=\cos ^{2}\theta _{c}=1-\sin ^{2}\theta _{c}=1-{\frac {n_{2}^{2}}{n_{1}^{2}}},$

zatem:

$n\sin \theta _{i}={\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}.$

Ze względu na podobieństwo do wyrażenia na aperturę liczbową dla przyrządów optycznych, aperturę numeryczną zwykło się definiować następująco:

$NA={\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}.$

Jako że często przyjmuje się założenie, że ośrodkiem wokół światłowodu jest powietrze o współczynniku załamania $n$ równym 1, wyrażenie sprowadza się do:

$NA=\sin \theta _{i}={\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}.$

Przykładowe wartości apertury numerycznej i kąta akceptacji światłowodu

Ośrodek	Apertura numeryczna	Kąt akceptacji
powietrze	1,000	90°
światłowód kwarcowy wielomodowy skokowy	0,242	14°
światłowód kwarcowy gradientowy	0,208	12°
światłowód jednomodowy	0,110	6,5°

Im większa apertura numeryczna, tym większą część światła można wprowadzić do wnętrza światłowodu (włókno wykazuje większą przydatność jako światłowód wielomodowy).