Inne nazwy to całka powierzchniowa funkcji skalarnej i całka powierzchniowa pierwszego rodzaju .
Definicja formalna
edytuj
Niech funkcja rzeczywista f : S → R , {\displaystyle f\colon \ S\to \mathbb {R} ,} S ⊂ R 3 , {\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3},} ciągła . Poprzez D {\displaystyle D} S {\displaystyle S} płaszczyznę X Y . {\displaystyle XY.} D {\displaystyle D} Δ δ 1 , Δ δ 2 , … , Δ δ n , {\displaystyle \Delta \delta _{1},\Delta \delta _{2},\dots ,\Delta \delta _{n},} Δ δ i ∩ Δ δ j = ∅ {\displaystyle \Delta \delta _{i}\cap \Delta \delta _{j}=\emptyset } i ≠ j . {\displaystyle i\not =j.} P {\displaystyle P}
Oznaczamy przez Δ S i {\displaystyle \Delta S_{i}} S , {\displaystyle S,} X Y {\displaystyle XY} Δ δ i . {\displaystyle \Delta \delta _{i}.} | Δ δ i | {\displaystyle |\Delta \delta _{i}|} Δ δ i , {\displaystyle \Delta \delta _{i},} | Δ S i | {\displaystyle |\Delta S_{i}|} Δ S i {\displaystyle \Delta S_{i}} [1] Δ S i {\displaystyle \Delta S_{i}} p i = ( x i , y i , z i ) ∈ Δ S i . {\displaystyle p_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})\in \Delta S_{i}.} p i {\displaystyle p_{i}} X Y {\displaystyle XY} ( x i , y i , 0 ) ∈ Δ δ i . {\displaystyle (x_{i},y_{i},0)\in \Delta \delta _{i}.}
Tworzymy sumę σ ( P ) = ∑ i = 1 n f ( p i ) | Δ S i | . {\displaystyle \sigma (P)=\sum _{i=1}^{n}f(p_{i})|\Delta S_{i}|.} P , {\displaystyle P,} średnic Δ S i {\displaystyle \Delta S_{i}} p i {\displaystyle p_{i}} σ ( P ) {\displaystyle \sigma (P)} granicy , to granicę tę oznaczamy symbolem
∬ S f ( x , y , z ) d S {\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\;dS} i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną[2]
Płat dany jawnie
edytuj
Jeśli płat dany równaniem z = φ ( x , y ) , {\displaystyle z=\varphi (x,y),} φ ( x , y ) {\displaystyle \varphi (x,y)} C 1 {\displaystyle C^{1}} D , {\displaystyle D,}
∬ S f ( x , y , z ) d S = ∬ D f ( x , y , φ ( x , y ) ) 1 + ( ∂ φ ∂ x ) 2 + ( ∂ φ ∂ y ) 2 d x d y . {\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\;dS=\iint \limits _{D}f{\big (}x,\ y,\ \varphi (x,y){\big )}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}}}\;dx\;dy.} Płat dany parametrycznie
edytuj
Niech płat dany jest równaniami x = x ( u , v ) , y = y ( u , v ) , z = z ( u , v ) {\displaystyle x=x(u,v),\ y=y(u,v),\ z=z(u,v)}
funkcje x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) {\displaystyle x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v)} C 1 {\displaystyle C^{1}} D ; {\displaystyle D;}
D {\displaystyle D} obszarem regularnym domkniętym , ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką ;różnym punktom wnętrza S {\displaystyle S} D ; {\displaystyle D;}
wyrażenie H = | x u y u x v y v | 2 + | y u z u y v z v | 2 + | z u x u z v x v | 2 {\displaystyle H={\begin{vmatrix}x_{u}&y_{u}\\x_{v}&y_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{u}&z_{u}\\y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{u}&x_{u}\\z_{v}&x_{v}\end{vmatrix}}^{2}} D . {\displaystyle D.} Wtedy
∬ S f ( x , y , z ) d S = ∬ D f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) H d u d v . {\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\;dS=\iint \limits _{D}f{\big (}x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v){\big )}{\sqrt {H}}\;du\;dv.} Uwaga. Wyrażenie H {\displaystyle H} minorów wziętych z macierzy Jakobiego D ( x , y , z ) D ( u , v ) = [ x u y u z u x v y v z v ] . {\displaystyle {\frac {D(x,y,z)}{D(u,v)}}={\begin{bmatrix}x_{u}&y_{u}&z_{u}\\x_{v}&y_{v}&z_{v}\end{bmatrix}}.}
Przykłady zastosowania
edytuj
Jeżeli funkcja f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} gęstość materialnego płata S {\displaystyle S} ( x , y , z ) , {\displaystyle (x,y,z),} masa całego tego płata jest równa ∬ S f ( x , y , z ) d S . {\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)dS.}
Pole powierzchni płata S {\displaystyle S} ∬ S d S . {\displaystyle \iint \limits _{S}dS.}
Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora , strumień wektora przez powierzchnię , całka powierzchniowa drugiego rodzaju .
Niech funkcja wektorowa F : S → R 3 , {\displaystyle F\colon \ S\to \mathbb {R} ^{3},} S ⊂ R 3 , {\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3},} ciągła .
Poprzez D {\displaystyle D} S {\displaystyle S} płaszczyznę X Y . {\displaystyle XY.}
D {\displaystyle D} Δ δ 1 , Δ δ 2 , … , Δ δ n , {\displaystyle \Delta \delta _{1},\Delta \delta _{2},\dots ,\Delta \delta _{n},} Δ δ i ∩ Δ δ j = ∅ {\displaystyle \Delta \delta _{i}\cap \Delta \delta _{j}=\emptyset } i ≠ j . {\displaystyle i\not =j.} P {\displaystyle P} Δ S i {\displaystyle \Delta S_{i}} S , {\displaystyle S,} X Y {\displaystyle XY} Δ δ i , {\displaystyle \Delta \delta _{i},} | Δ S i | {\displaystyle |\Delta S_{i}|} Δ S i . {\displaystyle \Delta S_{i}.}
Na każdym Δ S i {\displaystyle \Delta S_{i}} p i = ( x 1 , y i , z i ) ∈ Δ S i . {\displaystyle p_{i}=(x_{1},y_{i},z_{i})\in \Delta S_{i}.} p i {\displaystyle p_{i}} X Y {\displaystyle XY} ( x i , y i , 0 ) ∈ Δ δ i . {\displaystyle (x_{i},y_{i},0)\in \Delta \delta _{i}.}
Tworzymy sumę σ ( P ) = ∑ i = 1 n F N ( p i ) | Δ S i | , {\displaystyle \sigma (P)=\sum _{i=1}^{n}F_{N}(p_{i})|\Delta S_{i}|,} F N ( p i ) {\displaystyle F_{N}(p_{i})} F ( p i ) = ( X ( p i ) , Y ( p i ) , Z ( p i ) ) {\displaystyle F(p_{i})=(X(p_{i}),Y(p_{i}),Z(p_{i}))} normalną do Δ S i . {\displaystyle \Delta S_{i}.}
Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów P , {\displaystyle P,} średnic Δ S i {\displaystyle \Delta S_{i}} p i {\displaystyle p_{i}} σ ( P ) {\displaystyle \sigma (P)} granicy , to granicę tę oznaczamy symbolem
∬ S X ( x , y , z ) d y d z + Y ( x , y , z ) d z d x + Z ( x , y , z ) d x d y , {\displaystyle \iint \limits _{S}X(x,y,z)dydz+Y(x,y,z)dzdx+Z(x,y,z)dxdy,} lub
∬ S X d y d z + Y d z d x + Z d x d y {\displaystyle \iint \limits _{S}Xdydz+Ydzdx+Zdxdy} i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną[3] ∬ S F ⋅ d S , {\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,} ∬ S F → ⋅ d S → {\displaystyle \iint \limits _{S}{\vec {F}}\cdot d{\vec {S}}} [4]
Związek całki skierowanej z nieskierowaną jest następujący:
∬ S ( X d y d z + Y d z d x + Z d x d y ) = ∬ S ( X cos α + Y cos β + Z cos γ ) d S , {\displaystyle \iint \limits _{S}\left(X\;dy\;dz+Y\;dz\;dx+Z\;dx\;dy\right)=\iint \limits _{S}(X\cos \alpha +Y\cos \beta +Z\cos \gamma )\;dS,} α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ \gamma } to kąty pomiędzy wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie ( x , y , z ) , {\displaystyle (x,y,z),} [5]
Płat dany jawnie
edytuj
Niech płat jest zadany równaniem z = φ ( x , y ) , {\displaystyle z=\varphi (x,y),} φ {\displaystyle \varphi } C 1 {\displaystyle C^{1}} D . {\displaystyle D.} N = [ − φ x , − φ y , 1 ] {\displaystyle \mathbf {N} =[-\varphi _{x},-\varphi _{y},1]} S {\displaystyle S} O Z . {\displaystyle OZ.}
∬ S F ( x , y , z ) d S = ε ∬ D F ( x , y , φ ( x , y ) ) N d x d y = {\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} (x,y,z)d\mathbf {\;S} =\varepsilon \iint \limits _{D}\mathbf {F} (x,\ y,\ \varphi (x,y))\mathbf {N} \;dx\;dy=} = ε ∬ D ( − X ( x , y , φ ( x , y ) ) φ x − Y ( x , y , φ ( x , y ) ) φ Y + Z ( x , y , φ ( x , y ) ) ) d x d y , {\displaystyle =\varepsilon \iint \limits _{D}{\Big (}-X\left(x,\ y,\ \varphi (x,y)\right)\varphi _{x}-Y\left(x,\ y,\ \varphi (x,y)\right)\varphi _{Y}+Z(x,\ y,\ \varphi (x,y)){\Big )}\;dx\;dy,} gdzie ε = + 1 , {\displaystyle \varepsilon =+1,} S {\displaystyle S} O Z , {\displaystyle OZ,} ε = − 1 , {\displaystyle \varepsilon =-1,}
Płat dany parametrycznie
edytuj
Niech płat dany jest równaniami x = x ( u , v ) , y = y ( u , v ) , z = z ( u , v ) , {\displaystyle x=x(u,v),\ y=y(u,v),\ z=z(u,v),} C 1 {\displaystyle C^{1}} D . {\displaystyle D.}
D {\displaystyle D} obszarem regularnym domkniętym , ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką ;różnym punktom wnętrza S {\displaystyle S} D ; {\displaystyle D;}
wyrażenie H = | h | 2 = | x u y u x v y v | 2 + | y u z u y v z v | 2 + | z u x u z v x v | 2 {\displaystyle H=|\mathbf {h} |^{2}={\begin{vmatrix}x_{u}&y_{u}\\x_{v}&y_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{u}&z_{u}\\y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{u}&x_{u}\\z_{v}&x_{v}\end{vmatrix}}^{2}} D {\displaystyle D} minorów macierzy jakobianowej D ( x , y , z ) D ( u , v ) = [ x u y u z u x v y v z v ] {\displaystyle {\frac {D(x,y,z)}{D(u,v)}}={\begin{bmatrix}x_{u}&y_{u}&z_{u}\\x_{v}&y_{v}&z_{v}\end{bmatrix}}} Wtedy:
∬ S F ( x , y , z ) d S = ε ∬ D F ( x , y , z ) ⋅ h d u d v , {\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} (x,y,z)d\mathbf {\;S} =\varepsilon \iint \limits _{D}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot \mathbf {h} \;du\;dv,} gdzie:
h = [ x u , y u , z u ] × [ x v , y v , z v ] = [ | y u z u y v z v | , | z u x u z v x v | , | x u y u x v y v | ] . {\displaystyle \mathbf {h} =[x_{u},y_{u},z_{u}]\times [x_{v},y_{v},z_{v}]={\bigg [}{\begin{vmatrix}y_{u}&z_{u}\\y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}},\ {\begin{vmatrix}z_{u}&x_{u}\\z_{v}&x_{v}\end{vmatrix}},\ {\begin{vmatrix}x_{u}&y_{u}\\x_{v}&y_{v}\end{vmatrix}}{\bigg ]}.} Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:
ε ∬ D F ( x , y , z ) ⋅ h d u d v = ε ∬ D | X Y Z x u y u z u x v y v z v | d u d v . {\displaystyle \varepsilon \iint \limits _{D}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot \mathbf {h} \;du\;dv=\varepsilon \iint \limits _{D}{\begin{vmatrix}X&Y&Z\\x_{u}&y_{u}&z_{u}\\x_{v}&y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}}\;du\;dv.} Tu ε = + 1 , {\displaystyle \varepsilon =+1,} S {\displaystyle S} h ; ε = − 1 , {\displaystyle \varepsilon =-1,}
Dane 3 rzuty
edytuj
Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji . Uwagi: niech ten, kto dobrze orientuje się w tym temacie, sprawdzi w tej sekcji wzór i to, co napisano po wzorze., zrozumiale przepisać reguły o znaczeniach ε x , {\displaystyle \varepsilon x,} ε y , {\displaystyle \varepsilon y,} ε z . {\displaystyle \varepsilon z.} Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji.
Jeśli płat S {\displaystyle S} x = x ( y , z ) , y = y ( z , x ) , z = z ( x , y ) , {\displaystyle x=x(y,z),\ y=y(z,x),\ z=z(x,y),} S y z , {\displaystyle S_{yz},} S z x , {\displaystyle S_{zx},} S x y , {\displaystyle S_{xy},} S {\displaystyle S} O Y Z , {\displaystyle OYZ,} O Z X , {\displaystyle OZX,} O X Y , {\displaystyle OXY,}
∬ S F ( x , y , z ) d S = ∬ S ( X d y d z + Y d z d x + Z d x d y ) = {\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} (x,y,z)d\mathbf {\;S} =\iint \limits _{S}\left(X\;dy\;dz+Y\;dz\;dx+Z\;dx\;dy\right)=} = ε x ∬ S y z X ( x ( y , z ) , y , z ) d y d z + ε y ∬ S z x Y ( x , y ( z , x ) , z ) d x d z + ε z ∬ S x y Z ( x , y , z ( x , y ) ) d x d y . {\displaystyle =\varepsilon _{x}\iint \limits _{S_{yz}}X(x(y,z),\ y,\ z)\;dy\;dz\;+\;\varepsilon _{y}\iint \limits _{S_{zx}}Y(x,\ y(z,x),\ z)\;dx\;dz\;+\;\varepsilon _{z}\iint \limits _{S_{xy}}Z(x,\ y,\ z(x,y))\;dx\;dy.} ε x = + 1 , ε y = + 1 , ε z = + 1 , {\displaystyle \varepsilon _{x}=+1,\varepsilon _{y}=+1,\varepsilon _{z}=+1,} − 1 {\displaystyle -1} ε x ∗ ε z = + 1 ⇔ z x < 0 {\displaystyle \varepsilon _{x}*\varepsilon _{z}=+1\Leftrightarrow z_{x}<0}
Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna .
Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia. Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère’a .
![{\displaystyle \mathbf {N} =[-\varphi _{x},-\varphi _{y},1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d898f9f5e3bab8ddaba4be5e16838b528470e8)
![{\displaystyle \mathbf {h} =[x_{u},y_{u},z_{u}]\times [x_{v},y_{v},z_{v}]={\bigg [}{\begin{vmatrix}y_{u}&z_{u}\\y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}},\ {\begin{vmatrix}z_{u}&x_{u}\\z_{v}&x_{v}\end{vmatrix}},\ {\begin{vmatrix}x_{u}&y_{u}\\x_{v}&y_{v}\end{vmatrix}}{\bigg ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3739ca58e4629879da5aeb7bb61e3c1957fab3)
Surface integral (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].