Element algebraiczny
Element algebraiczny – uogólnienie pojęcia liczby algebraicznej na rozszerzenia dowolnych ciał. Liczby algebraiczne to elementy algebraiczne ciała liczb zespolonych nad ciałem liczb wymiernych.
Definicja edytuj
Niech będzie podciałem ciała Element nazywamy elementem algebraicznym nad wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy wielomian o współczynnikach z ciała którego pierwiastkiem jest
Element niebędący algebraicznym nad nazywamy elementem przestępnym nad w ciele
Własności edytuj
- Zbiór wszystkich elementów ciała algebraicznych nad tworzy ciało, zwane rozszerzeniem algebraicznym ciała
- Jeśli jest elementem algebraicznym nad to
- (por. oznaczenia w artykule rozszerzenia ciał)
![{\displaystyle K(a)=K[a]=\{f(a)\in L\colon \,f\in L[x]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5cbaa47fa1ddc23eb89afef2116da2956cbf9f)
- Dla każdego elementu algebraicznego nad istnieje dokładnie jeden unormowany wielomian pierwszy o współczynnikach z ciała (tj. element pierwszy w pierścieniu ), którego pierwiastkiem jest Wielomian nazywamy wielomianem minimalnym elementu algebraicznego Zachodzi Stopień ten nazywamy stopniem elementu algebraicznego
![{\displaystyle K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9)
![{\displaystyle [F(a):F]=\deg p_{a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7166f976618a342c2b570800d2e8162f4e3e5b49)
Bibliografia edytuj
- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.
- Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975.