Grupa permutacji

Grupa permutacji – grupa wszystkich permutacji ustalonego zbioru skończonego z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako permutacja odwrotna). Rząd (tj. liczba elementów) grupy permutacji zbioru $n$ -elementowego wynosi $n!$ (zob. silnia).

Grupy permutacji były punktem wyjścia teorii grup: zaczęto je badać w związku z poszukiwaniem ogólnych rozwiązań równań algebraicznych. Grupy symetryczne o więcej niż dwóch elementach nie są przemienne (abelowe), a o więcej niż czterech elementach nie są rozwiązalne: zgodnie z teorią Galois jest to powód, dla którego równania algebraiczne stopnia większego niż cztery nie mają rozwiązań ogólnych (tzw. twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę permutacji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup permutacji dotyczą również dowolnych grup skończonych^[a].

Nazewnictwo i oznaczenia edytuj

Grupy permutacji bywają nazywane również grupami symetrycznymi, choć termin ten należy raczej traktować ogólnie; niektóry autorzy^[1] „grupami permutacji” nazywają podgrupy właściwe grupy symetrycznej (tu: wszystkich permutacji danego zbioru). Niekiedy używa się również nazwy grupa bijekcji (funkcji wzajemnie jednoznacznych), jednak zwykle nazwa ta odnosi się do grup przekształceń dowolnych zbiorów (w tym nieskończonych).

Zwykle^[2]^[3]^[4] grupy permutacji zbioru $n$ -elementowego oznacza się symbolem $S_{n};$ grupy bijekcji zbioru $X$ oznaczane są często^[2] $\mathrm {S} (X),$ choć stosuje się też inne oznaczenia, np. $\mathrm {Bij} (X)$ ^[5], $\mathrm {Sym} (X)$ dla grup bijekcji, czy $\Sigma _{n},$ $\Pi (n)$ ^[5] dla grupy permutacji.

Przykłady edytuj

Jeśli $X=\varnothing$ jest zbiorem pustym, to istnieje jedno trywialne uporządkowanie tego zbioru: $\varnothing \to \varnothing$ (permutacja pusta). Gdy $X=\{x\}$ jest zbiorem jednoelementowym, to grupa permutacji znowu zawiera wyłącznie tylko permutację trywialną $(x)\mapsto (x).$ Jeżeli $X=\{a,b\}$ jest zbiorem dwuelementowym, to istnieją tylko dwie permutacje tego zbioru: $(a,b)\mapsto (a,b)$ (tożsamość) oraz $(a,b)\mapsto (b,a)$ (transpozycja).

Zobacz też edytuj

permutacja

Uwagi edytuj

↑ Dotyczy to również ogólnie grup symetrycznych/bijekcji (zob. Nazewnictwo i oznaczenia): wtedy wnioski ich dotyczące rozszerzają się na dowolne grupy (również nieskończone).

Przypisy edytuj

↑ Kurosch A.G.: Gruppentheorie. Berlin: Akademie Verlag, 1953, s. 59–62.
↑ ^a ^b Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983, wydanie III, s. 35–37. ISBN 83-01-03903-5.
↑ Serge Lang: Algebra, tłum. Ryszard Bittner, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973, s. 70.
↑ Jerzy Browkin, Teoria ciał, Biblioteka Matematyczna, tom 49, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 37 i kolejne.
↑ ^a ^b Komorowski Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 2–3.

Linki zewnętrzne edytuj

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Permutation Group, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-10-10].
Permutation group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].

[1] Dotyczy to również ogólnie grup symetrycznych/bijekcji (zob. Nazewnictwo i oznaczenia): wtedy wnioski ich dotyczące rozszerzają się na dowolne grupy (również nieskończone).

[2] Kurosch A.G.: Gruppentheorie. Berlin: Akademie Verlag, 1953, s. 59–62.

[gleichgewicht-3] Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983, wydanie III, s. 35–37. ISBN 83-01-03903-5.

[lang-4] Serge Lang: Algebra, tłum. Ryszard Bittner, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973, s. 70.

[browkin-5] Jerzy Browkin, Teoria ciał, Biblioteka Matematyczna, tom 49, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 37 i kolejne.

[komorowski-6] Komorowski Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 2–3.

[a]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]