Grupa trywialna

Grupa trywialna – grupa składająca się wyłącznie z jednego elementu; tego rodzaju grupy są najmniejszymi w sensie liczebności (tj. rzędu) możliwymi grupami.

Przykłady

Istnieje wiele tak scharakteryzowanych grup, np.:

• grupa addytywna $\mathbb {Z} _{1}=\{0\}$ z działaniem dodawania modulo $1,$
• grupa multiplikatywna $\mathbb {Z} _{2}^{\times }=\{1\}$ z działaniem mnożenia modulo $2$ (zob. arytmetyka modularna),
• grupa pierwiastków z jedynki $\mathbb {C} _{1}=\{1\}$ nad ciałem liczb zespolonych,
• grupa permutacji $S_{1}=\{\mathrm {id} \}$ zbioru jednoelementowego;

wszystkie one mają tę samą strukturę, tzn. są izomorficzne.

Dzieje się tak również dlatego, że w dowolnym zbiorze jednoelementowym $E=\{e\}$ można wprowadzić jedno i tylko jedno działanie dwuargumentowe $\heartsuit ,$ które uczyniłoby z niego grupę. Wówczas wzór

$e\ \heartsuit \ e=e$

opisuje wszystkie w niej zależności; w szczególności, iż $e$ pełni rolę elementu neutralnego oraz odwrotnego względem siebie. W związku z powyższym często utożsamia się wszystkie grupy jednoelementowe oznaczając je wspólnym symbolem, np. $E,$ czy $\mathbf {1}$ (w notacji multiplikatywnej) albo $\mathbf {0}$ (w notacji addytywnej).

Własności

Każda grupa trywialna jest cykliczna, gdyż jest generowana przez element neutralny (przyjmuje się również, że generuje ją także zbiór pusty). Jako taka jest ona zatem: przemienna (abelowa), a ponadto doskonała, pełna, nilpotentna oraz rozwiązalna; dodatkowo jest to jedyna grupa jednocześnie torsyjna i beztorsyjna, przyjmuje się również, że ma zerową rangę.

W dowolnej grupie można wyróżnić jedną i tylko jedną podgrupę, która sama w sobie jest grupą trywialną: składa się ona z jej elementu neutralnego i nazywa podgrupą trywialną tej grupy.