Iloraz różnicowy

Iloraz różnicowy – wielkość opisująca przyrost funkcji na danym przedziale.

Definicja

Niech $f\colon X\to Y$ i $x_{1},x_{2}\in X.$ Wtedy ilorazem różnicowym nazywamy iloraz:

${\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}.$

Jeżeli nie prowadzi to do niejasności stosujemy też oznaczenie ${\frac {\Delta f}{\Delta x}},$ gdzie $\Delta f$ oznacza licznik, zaś $\Delta x$ – mianownik powyższego ułamka.

Przykład

Dla funkcji $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{3}$ i punktów $x_{1}=0,x_{2}=1$ ich iloraz różnicowy wynosi:

${\frac {1^{3}-0^{3}}{1-0}}=1.$

Rysunek przedstawia interpretację geometryczną ilorazu różnicowego dla dwóch punktów $x_{1},x_{2}.$ Prostą $PQ$ nazywa się sieczną lub cięciwą.

Uwaga

$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {\Delta f}{\Delta x}}$

wyłącznie w prostokątnym układzie współrzędnych o równych jednostkach na obu osiach.

Jeżeli $f$ określa zmianę drogi ciała w czasie, to iloraz różnicowy funkcji $f$ w dla punktów $x_{1},x_{2}$ określa średnią prędkość ciała w czasie od $x_{1}$ do $x_{2}.$

Związek z pochodną

Pochodna funkcji jednej zmiennej w punkcie x₀ jest definiowana jako następująca granica ilorazu różnicowego:

$f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.$

Uogólnienia

Ilorazem różnicowym $N$-tego rzędu funkcji $f\colon X\to Y$ w punktach $x_{0},x_{1},\dots ,x_{N}\in X$ nazywamy funkcję

$f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{N}]:=\sum \limits _{i=0}^{N}~{\frac {f(x_{i})}{\prod \limits _{j=0 \atop j\neq i}^{N}(x_{i}-x_{j})}}.$

Prawdziwy jest związek rekurencyjny:

${\begin{cases}f[x_{i}]=f(x_{i})\quad (0\leqslant i\leqslant N)\\f[x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{k+m}]={\frac {f[x_{k+1},x_{k+2},\dots ,x_{k+m}]-f[x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{k+m-1}]}{x_{k+m}-x_{k}}}\quad (0\leqslant k<k+m\leqslant n)\end{cases}}.$