Liczby Eulera – dwa ciągi liczbowe badane przez Leonarda Eulera.
Opisują, ile jest permutacji n {\displaystyle n} -elementowego zbioru posiadających k {\displaystyle k} wzniesień, tzn. k {\displaystyle k} pozycji, dla których π j < π j + 1 . {\displaystyle \pi _{j}<\pi _{j+1}.} Symbolem dla liczb Eulera I rodzaju jest:
Liczby te spełniają wzór rekurencyjny postaci:
z warunkami brzegowymi
n / k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 1 1 0 2 1 1 0 3 1 4 1 0 4 1 11 11 1 0 5 1 26 66 26 1 0 6 1 57 302 302 57 1 0 7 1 120 1191 2416 1191 120 1 0 8 1 247 4293 15619 15619 4293 247 1 0 9 1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1 0 {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {n} /{\mathit {k}}&\ {\mathit {0}}\ &\ {\mathit {1}}\ &{\mathit {2}}&{\mathit {3}}&{\mathit {4}}&{\mathit {5}}&{\mathit {6}}&{\mathit {7}}&\ \ {\mathit {8}}\ \ &\ {\mathit {9}}\\\mathbf {0} &1\\\mathbf {1} &1&0\\\mathbf {2} &1&1&0\\\mathbf {3} &1&4&1&0\\\mathbf {4} &1&11&11&1&0\\\mathbf {5} &1&26&66&26&1&0\\\mathbf {6} &1&57&302&302&57&1&0\\\mathbf {7} &1&120&1191&2416&1191&120&1&0\\\mathbf {8} &1&247&4293&15619&15619&4293&247&1&0\\\mathbf {9} &1&502&14608&88234&156190&88234&14608&502&1&0\end{matrix}}}
Liczby te są oznaczane jako:
i spełniają równanie rekurencyjne postaci:
n / k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 1 1 0 2 1 2 0 3 1 8 6 0 4 1 22 58 24 0 5 1 52 328 444 120 0 6 1 114 1452 4400 3708 720 0 7 1 240 5610 32120 58140 33984 5040 0 8 1 494 19950 195800 644020 785304 341136 40320 0 9 1 1004 67260 1062500 5765500 12440064 11026296 3733920 362880 0 {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {n} /{\mathit {k}}&\ {\mathit {0}}\ &\ {\mathit {1}}\ &{\mathit {2}}&{\mathit {3}}&{\mathit {4}}&{\mathit {5}}&{\mathit {6}}&{\mathit {7}}&\ \ {\mathit {8}}\ \ &\ {\mathit {9}}\\\mathbf {0} &1\\\mathbf {1} &1&0\\\mathbf {2} &1&2&0\\\mathbf {3} &1&8&6&0\\\mathbf {4} &1&22&58&24&0\\\mathbf {5} &1&52&328&444&120&0\\\mathbf {6} &1&114&1452&4400&3708&720&0\\\mathbf {7} &1&240&5610&32120&58140&33984&5040&0\\\mathbf {8} &1&494&19950&195800&644020&785304&341136&40320&0\\\mathbf {9} &1&1004&67260&1062500&5765500&12440064&11026296&3733920&362880&0\end{matrix}}}