Liczby całkowite
Liczby całkowite – liczby naturalne oraz liczby przeciwne do nich a także liczba zero[1]. Są uogólnieniem zbioru liczb naturalnych na zbiór, w którym wykonalne jest odejmowanie.
Zbiór liczb całkowitych oznaczamy się symbolem , od niemieckiego Zahl – liczba[potrzebny przypis]. W Polsce Ministerstwo Edukacji Narodowej zaleciło używanie tego oznaczenia[2], choć w większości szkół podstawowych i średnich stosowano symbol – inicjał nazwy polskiej[potrzebny przypis].
Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.
Definicja formalna edytuj
Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru relacji równoważności
Intuicyjnie reprezentuje różnicę
Niech oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze definiuje się jako:
![{\displaystyle [(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4673f87e9f04b411addd9c344dceb4c2915dd1)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058c43d66521cefd6334f3211ac6a1773ee734de)
![{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13331cfcefba4254583e5a285f633d268d729383)
Liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.
![{\displaystyle [(a,b)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f5f12be6056e07c608b64edfe7a3470abf66c6)
Własności edytuj
Algebraiczne edytuj
Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera[potrzebny przypis].
Zerem tego pierścienia jest elementem przeciwnym do jest element Jedynką jest
![{\displaystyle [(0,0)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7633294ee062ff29a5b2a28ba56e3661342ac120)
![{\displaystyle [(b,a)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a816f0a1ca0c5d4a9b64062b1a8228bf785c4c9)
![{\displaystyle [(1,0)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638859650ed1cb59eb29a985f9e690429f55e557)
Podzbiór elementów postaci jest izomorficzny z
![{\displaystyle [(a,0)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c4b77308159b2e6971cc2facdb5efce89ff80e)
Ponieważ oraz elementem przeciwnym do więc
![{\displaystyle [(a,b)]=[(a,0)]+[(0,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e687e5d5fc14048449020360e28a69103da15c)
![{\displaystyle [(0,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713d35f9f6969343c7851ba305f2a171842a707b)
![{\displaystyle [(b,0)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90b9311c32ddbc4924d587623d6a971d95c65ac)
![{\displaystyle [(a,b)]=[(a,0)]-[(b,0)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284ebb3e1587fa9cebb71fd2a93826a7174ecd0d)
Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.
Liczność edytuj
Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:
Zobacz też edytuj
Przypisy edytuj
- ↑ Liczby całkowite, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-21].
- ↑ Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 30 stycznia 2018 r. w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia. Dz.U. 2018, poz. 467. s. 293. [dostęp 2020-10-07].
