Półprosta

Półprosta – figura geometryczna składająca się z punktów prostej leżących po jednej stronie pewnego punktu tej prostej. Punkt ten jest nazywany początkiem półprostej. Bardzo często do tak określonej półprostej dołącza się początek półprostej – mówimy wówczas o półprostej domkniętej (z początkiem). W przeciwnym wypadku mówimy o półprostej otwartej (bez początku).

Prosta, półprosta i odcinek. Dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka (tzw. nulki) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.

Półprostą o początku w punkcie $A$ i przechodzącą przez punkt $B$ oznaczamy jako półprostą $AB.$

Niekiedy półprostą nazywa się promieniem. Często wygodnie jest oznaczać przez $A/B$ promień otwarty wychodzący z punktu $A$ i nieprzechodzący przez punkt $B$. Inaczej mówiąc, promień $A/B$ składa się z tych punktów prostej $AB,$ które leżą po przeciwnej stronie punktu $A$ niż punkt $B.$

Inne definicje półprostej

• Półprostą (domkniętą) o początku w punkcie $A$ można też zdefiniować jako maksymalny podzbiór prostej przechodzącej przez punkt $A,$ taki że punkt $A$ należy do tego podzbioru, ale nie leży on między żadnymi dwoma innymi punktami tego podzbioru.
• Półprostą (domkniętą) $AB$ można również zdefiniować jako sumę mnogościową wszystkich odcinków o końcu w punkcie $A$ zawierających punkt $B$.

Własności

• Zbiór rzędnych punktów danej półprostej jest albo zbiorem jednopunktowym (gdy półprosta jest zawarta w prostej prostopadłej do osi rzędnych), albo przedziałem nieskończonym. To samo można powiedzieć o zbiorze odciętych punktów półprostej.
• Dla każdych dwóch różnych punktów $A$ i $B$ półproste $A/B$ i $B/A$ są rozłączne. Suma mnogościowa tych promieni i odcinka ${\overline {AB}}$ jest równa prostej $AB{:}$

$A/B\cup {\overline {AB}}\cup B/A={\text{prosta }}AB.$

• Na zbiorze półprostych (promieni) zawartych w danej prostej można określić relację równoważności $R_{k}.$ Promienie $p_{1}$ i $p_{2}$ są w niej równoważne, jeśli jeden z nich jest zawarty w drugim:

$p_{1}R_{k}p_{2}\Leftrightarrow p_{1}\subset p_{2}\vee p_{2}\subset p_{1},$

Relacja ta ma dwie klasy równoważności nazywane kierunkami promieni na tej prostej.

Zobacz też

• prosta
• odcinek
• kąt

Bibliografia

• Borsuk Karol, Szmielew Wanda: Podstawy geometrii. Warszawa: PWN, 1970.brak strony w książce
• H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.brak strony w książce
• Ryszard Doman: Wykłady z geometrii elementarnej. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 1998.brak strony w książce
• А.Д. Александров: Основания геометрии. Москва: Наука, 1987.brak strony w książce