Problem silnie NP-zupełny

Problem silnie NP-zupełny (ang. Strongly NP-Complete) to taki problem decyzyjny, który nawet przy ograniczeniu maksymalnej wartości występujących w jego opisie liczb pozostaje NP-zupełny.

Istnienie algorytmu pseudowielomianowego dla dowolnego problemu silnie NP-zupełnego implikowałoby równość P=NP, a więc jest uważane za wysoce nieprawdopodobne. Natomiast problemy silnie NP-zupełne pozostałyby NP-zupełne nawet przy kodowaniu unarnym, stąd też są również znane jako problemy jedynkowo NP-zupełne.

Definicja formalna

Niech $P$ będzie dowolnym wielomianem, a $\pi$ problemem decyzyjnym. Oznaczając przez $\pi _{P}$ podproblem problemu $\pi$ otrzymany przez ograniczenie dziedziny $\pi$ do tych instancji, dla których:

$\max(I)\leqslant P(n(I)),$

gdzie:

$\max(I)$ oznacza największą liczbę występującą w opisie $I,$

$n(I)$ rozmiar instancji $I.$

Można powiedzieć, że problem decyzyjny $\pi$ jest silnie NP-zupełny, jeśli $\pi$ jest NP i istnieje taki wielomian $P,$ że $\pi _{P}$ jest NP-zupełny.

Z definicji tej od razu wynika, że jeśli $\pi$ jest NP-zupełny i nie jest problemem liczbowym, to jest silnie NP-zupełny.

Dowodzenie silnej NP-zupełności

Dowodzenie silnej NP-zupełności bezpośrednio z definicji wymagałoby znalezienia wielomianu spełniającego warunki określone w definicji. Niejednokrotnie okazuje się to jednak niełatwe.

W przypadku problemów, które nie są problemami liczbowymi wystarczy jednak dowieść tylko ich NP-zupełności. Zaś w przypadku problemów liczbowych wykorzystuje się transformacje pseudowielomianowe do sprowadzenia pewnego znanego problemu silnie NP-zupełnego do danego problemu, którego silną NP-zupełność się dowodzi, podobnie jak wykorzystuje się transformacje wielomianowe przy dowodzeniu NP-zupełności.

Przykłady

Następujące problemy liczbowe są silnie NP-zupełne:

• problem komiwojażera,
• problem podziału zbioru na trójelementowe podzbiory.

Następujące problemy niebędące problemami liczbowymi są silnie NP-zupełne:

• problem spełnialności formuł,
• problem kolorowania grafu.

Zobacz też

• problem NP-trudny
• problem obliczeniowy