Przekształcenie unitarne

Przekształcenie unitarne, przekształcenie ortogonalne – przekształcenie liniowe dwóch przestrzeni unitarnych (euklidesowych) zachowujące iloczyn skalarny, tzn. taka bijekcja $\mathrm {U} \colon X\to Y$ tych przestrzeni, dla której zachodzi

${\big \langle }\mathrm {U} (\mathbf {x} ),\mathrm {U} (\mathbf {y} ){\big \rangle }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}$

(1)

dla wszystkich $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X,$ gdzie $\cdot$ oznacza iloczyn skalarny w $X,$ a $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ jest iloczynem skalarnym w $Y.$

Macierzą tego przekształcenia jest macierz unitarna (lub macierz ortogonalna). Jeśli $X=Y,$ to przekształcenie to nazywa się operatorem unitarnym na $X.$ Każde przekształcenie unitarne jest izometrią. Pojęcie to odgrywa istotną rolę w teorii przestrzeni Hilberta (będącej przestrzenią unitarną).

Każde przekształcenie unitarne zachowuje długości wektorów, co wynika z przyjęcia $\mathbf {x} =\mathbf {y}$ w (1).