Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)

Przestrzeń sprzężona (także dualna lub dwoista) – przestrzeń wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych określonych na danej przestrzeni unormowanej lub, nieco ogólniej, przestrzeni liniowo-topologicznej. Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni $X$ oznacza się często $X^{*}$ lub $X'.$ Parę $(X,X^{*})$ nazywa się parą dualną. Współczesna terminologia pochodzi od Bourbakiego. W przeszłości były też używane nazwy: polarer Raum (niem., dosł. przestrzeń polarna/biegunowa) – Hans Hahn, transponierter Raum (niem., dosł. przestrzeń transponowana)/espace conjugué (fr., dosł. przestrzeń dołączona) – Juliusz Schauder, adjoint space (ang., dosł. przestrzeń dołączona) – Leonidas Alaoglu.

W kontekście analizy funkcjonalnej dla odróżnienia od przestrzeni sprzężonej algebraicznie, w której nie zakłada się ciągłości funkcjonałów, mówi się czasami o przestrzeni sprzężonej topologicznie. W skrajnych przypadkach przestrzeń sprzężona algebraicznie może mieć bogatą strukturę, podczas gdy sprzężona topologicznie może być trywialna. W klasie przestrzeni skończenie wymiarowych oba pojęcia pokrywają się.

Wyniki ogólnej teorii przestrzeni sprzężonych znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki, np. w równaniach różniczkowych i całkowych, czy teorii aproksymacji. Przykładowo teoria dystrybucji zrodzona z potrzeb fizyki, zbudowana jest w oparciu o funkcjonały liniowe i ciągłe na pewnej przestrzeni liniowo-topologicznej (tzw. przestrzeni funkcji próbnych).

Definicja formalna

Niech $X$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych lub zespolonych. Zbiór $X^{*}$ wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych

$\varphi \colon X\to K$

nazywa się przestrzenią sprzężoną do $X.$

Uwagi

• Przestrzeń sprzężona jest przestrzenią liniową z działaniami określonymi punktowo, to znaczy jeśli $\varphi ,\psi \in X^{*},$ zaś $a$ jest skalarem, to

  $(\varphi +\psi )(x)=\varphi (x)+\psi (x)$

  $(a\varphi )(x)=a\varphi (x)$

dla wszystkich $x\in X.$

• W przypadku, gdy nie zakłada się o $X$ nic ponad bycie przestrzenią liniowo-topologiczną, jej przestrzeń sprzężona może być trywialna, tzn. może być złożona tylko z odwzorowania tożsamościowo równego zeru. Przykładem może być przestrzeń $X=L^{p}([0,1])$ dla $0<p<1$. Innym przykładem mogą być przestrzenie Hardy’ego $H^{p}$ dla $0<p<1$.
• Postać przestrzeni sprzężonej do danej przestrzeni liniowo-topologicznej jest ściśle związana z ilością zbiorów wypukłych w samej przestrzeni. Następujące fakty (w tym pewien wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha) wiążą $X^{*}$ z wypukłymi podzbiorami $X.$
  • Funkcjonały Minkowskiego są podliniowe (podaddytywne i dodatnio jednorodne). Funkcjonały zbalansowanych zbiorów Minkowskego są półnormami.
  • Wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha: Jeżeli $X$ jest rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią liniową, a $p$ półnormą na tej przestrzeni, to dla każdego punktu $x_{0}\in X$ istnieje taki funkcjonał liniowy $\varphi$ na przestrzeni $X,$ że $\varphi (x_{0})=p(x_{0})$ i

  $|\varphi (x)|\leqslant p(x)$ dla każdego elementu $x$ przestrzeni $X.$

• Zbalansowanym zbiorom wypukłym odpowiadają funkcjonały liniowe. Oznacza to w szczególności, że przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe (a więc i przestrzenie unormowane) mają nietrywialne przestrzenie sprzężone.
• Zwyczajowo funkcjonały traktuje się jako punkty przestrzeni sprzężonej, co znajduje odzwierciedlenie ich zapisie: analogicznie do $x,y\in X$ pisze się często $x^{*},y^{*}\in X^{*}.$ Dodatkowo, ze względu na ich liniowość, pomija się zwykle nawiasy przy argumentach, zatem zamiast $\varphi (x)$ bądź $x^{*}(x)$ pisze się po prostu $\varphi x$ lub $x^{*}x.$ W dalszej części artykułu stosowane będą oznaczenia „z gwiazdką”.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej

W dalszej części artykułu $X$ oznaczać będzie nietrywialną przestrzeń unormowaną nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych lub zespolonych. W przestrzeni $X^{*}$ można w naturalny sposób wprowadzić normę: jest nią funkcjonał

$\|x^{*}\|=\sup\{|x^{*}x|\colon \|x\|\leqslant 1\}.$

O ile nie prowadzi to do nieporozumień, normę w przestrzeni $X^{*}$ często oznacza się tym samym symbolem, co normę w $X.$ W przeciwnym przypadku przy jej symbolu umieszcza się w indeksie dolnym oznaczenie przestrzeni, w której rozpatrywana jest norma, np. $\|y\|_{X^{*}}.$

• Ciała liczb rzeczywistych i zespolonych z naturalną metryką modułową są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa, przestrzeń $X^{*}$ jest przestrzenią Banacha (bez względu na to, czy jest nią $X$).
• Jeżeli $X^{*}$ jest przestrzenią ośrodkową, to istnieje taki zbiór przeliczalny $A^{*},$ zawarty w kuli jednostkowej przestrzeni $X^{*},$ że

$\|x\|=\sup\{|x^{*}x|\colon \,x^{*}\in A^{*}\}$ dla $x\in X.$

• Jeżeli przestrzeń $X^{*}$ jest ośrodkowa, to $X$ też taka jest. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, mianowicie przestrzenią sprzężoną do (ośrodkowej) przestrzeni $L^{1}(\mathbb {R} )$ jest przestrzeń $L^{\infty }(\mathbb {R} ),$ która nie jest ośrodkowa.

Topologie w przestrzeni sprzężonej

Jeśli $\sigma$ jest topologią w przestrzeni liniowo-topologicznej $Y,$ to symbolem $\sigma ^{w}$ oznacza się słabą topologię w $Y,$ to znaczy najsłabszą topologię, względem której wszystkie odwzorowania z $Y^{*}$ są ciągłe.

W przestrzeni $Y^{*}$ można rozważać również topologię *-słabą, to znaczy najsłabszą topologię, względem której każde z odwzorowań

$\Phi _{y}\colon Y^{*}\to K,\;y\in Y$

postaci

$\Phi _{y}y^{*}=y^{*}y,\,y^{*}\in Y^{*}$

jest ciągłe. $Y^{*}$ z topologią *-słabą jest przestrzenią lokalnie wypukłą.

Podsumowując, jeżeli $X$ jest przestrzenią unormowaną, to w przestrzeni $X^{*}$ można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

• mocną topologię $\tau ^{*},$ czyli topologię wyznaczoną przez normę w $X^{*},$
• słabą topologię $(\tau ^{*})^{w},$
• *-słabą topologię $\tau ^{w^{*}},$

Zachodzi między nimi następujący związek:

$\tau ^{w^{*}}\subseteq (\tau ^{*})^{w}\subseteq \tau ^{*},$

przy czym

$\tau ^{w^{*}}=(\tau ^{*})^{w}$

wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią refleksywną (czyli gdy $X^{*}$ jest przestrzenią refleksywną). Równość ta jest konsekwencją jednego z fundamentalnych twierdzeń analizy funkcjonalnej – tzw. twierdzenia Banacha-Alaoglu. Równość topologii *-słabej i mocnej zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest skończenie wymiarowa.

• Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Podzbiór przestrzeni $X^{*}$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo ograniczony.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią Banacha, to *-słabo zwarte podzbiory $X^{*}$ są ograniczone.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każdy niepusty *-słabo otwarty podzbiór $X^{*}$ jest nieograniczony. Co więcej, każde *-słabe (otwarte) otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
• Topologia *-słaba jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest skończenie wymiarowa.

Ograniczona topologia *-słaba

Istnieje jeszcze jeden, w pewien sposób naturalny, rodzaj topologii wprowadzanej w przestrzeni $X^{*}$ – tzw. ograniczona topologia *-słaba zdefiniowana w roku 1950 przez Jeana Dieudonné.

Niech dla każdego $x^{*}\in X^{*}$ oraz dla każdego ciągu $(x_{n})$ punktów przestrzeni $X$ zbieżnego (w normie) do zera będzie dany zbiór

$B(x^{*},(x_{n}))=\{y^{*}\in X^{*}\colon |(y^{*}-x^{*})x_{n}|<1,\,n\in \mathbb {N} \}.$

Rodzina zbiorów tej postaci tworzy bazę pewnej topologii w przestrzeni $X^{*},$ którą nazywa się ograniczoną topologią *-słabą. Przestrzeń $X^{*}$ z tą topologią jest przestrzenią lokalnie wypukłą. Jeżeli symbol $\tau ^{bw^{*}}$ oznaczać będzie ograniczoną topologię *-słabą, to między wspomnianymi wcześniej topologiami zachodzi następujący związek:

$\tau ^{w^{*}}\subseteq \tau ^{bw^{*}}\subseteq \tau ^{*}.$

Ograniczona topologia *-słaba oraz topologia *-słaba pokrywają się (w sensie topologii podprzestrzeni) na ograniczonych podzbiorach $X^{*}.$ Własność ta uzasadnia nazwę tego pojęcia. Natychmiastowym wnioskiem z tej obserwacji jest fakt, iż jeśli $(x_{n}^{*})$ jest ograniczonym ciągiem punktów $X^{*},$ to jest on zbieżny w sensie ograniczonej topologii *-słabej do pewnego punktu $x_{0}^{*}$ tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo zbieżny do $x_{0}^{*}.$

Mimo iż $X^{*}$ z topologią normy jest przestrzenią Banacha, to jednak poniższe twierdzenie dość dobrze ilustruje związek zupełności przestrzeni $X$ z topologią *-słabą jej przestrzeni sprzężonej:

Jeśli $X$ jest przestrzenią Banacha, to topologie: *-słaba i ograniczona *-słaba pokrywają się, to znaczy

$\tau ^{w^{*}}=\tau ^{bw^{*}}.$

Prawdziwe, jest też twierdzenie odwrotne, które można sformułować nieco inaczej:

Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha, to

$\tau ^{w^{*}}\neq \tau ^{bw^{*}}.$

Twierdzenie Krejna-Szmuljana

Przy okazji omawiania (ograniczonej) *-słabej topologii w przestrzeni sprzężonej wartym odnotowania jest twierdzenie Krejna-Szmuljana (nazywane czasem twierdzeniem Banacha-Krejna-Szmuljana) udowodnione w 1940 przez Marka Krejna i Witolda Lwowicza Šmuliana.

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha oraz $B^{*}$ będzie kulą jednostkową w $X^{*}.$ Jeśli $C$ jest wypukłym podzbiorem $X^{*},$ to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $t>0$ zbiór

$C\cap tB^{*}$

jest *-słabo domknięty.

Druga przestrzeń sprzeżona

Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną. Przestrzeń $X^{**}$ jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy $X$ jest przestrzenią zupełną czy nie (zob. twierdzenie Banacha-Steinhausa), więc jako taka ma swoją przestrzeń sprzeżoną $X^{**}$ (analogicznie definiuje się trzecią przestrzeń sprzężoną $X^{***}$ czy $n$-tą $X^{(n)}$). Jeżeli $B$ i $B^{*}$ oznaczają domknięte kule jednostkowe przestrzeni, odpowiednio, $X$ i $X^{*},$ to

${\begin{array}{rcl}\|f\|&=&\sup\{|\langle f,x\rangle |\colon \,x\in B\}\;\;\;(f\in X^{*}),\\\|x\|&=&\sup\{|\langle f,x\rangle |\colon \,f\in B^{*}\}\;\;\;(x\in X),\end{array}}$

przy czym druga z powyższych równości zachodzi na mocy twierdzenia o wydobywaniu normy (wniosku z twierdzenia Hahna-Banacha). Istnieje kanoniczne włożenie

$\kappa _{X}\colon X\to X^{**}$

dane wzorem

$\langle \kappa _{X}(x),f\rangle =\langle f,x\rangle \quad (x\in X,f\in X^{*}).$

Izometryczność zanurzenia kanonicznego

Dla wszystkich funkcjonałów $f$ z $X^{*}$ i wszystkich elementów $x$ z przestrzeni $X$ zachodzi nierówność

$|\langle f,x\rangle |\leqslant \|f\|\|x\|,$

więc odwzorowanie κ_X jest izometrią, gdyż dla każdego elementu $x$ przestrzeni $X$ spełniona jest równość:

${\begin{array}{lcl}\|\kappa _{X}(x)\|&=&\sup\{|\langle \kappa _{X}(x),f\rangle |\colon \,f\in B^{*}\}\\&=&\sup\{|\langle f,x\rangle |\colon \,f\in B^{*}\}\\&=&\|x\|.\end{array}}$

Odwzorowanie κ_X nie musi być suriektywne. Przestrzenie Banacha dla których κ_X jest suriekcją nazywane są przestrzeniami refleksywnymi. Klasyczne twierdzenie Goldstine’a mówi, że obraz kuli jednostkowej poprzez odwzorowanie κ_X jest gęstym podzbiorem kuli jednostkowej w $X^{**}$ w tzw. $X^{*}$-topologii, tzn. topologii *-słabej w przestrzeni $X^{**}.$

Przestrzenie Banacha o wspólnej przestrzeni sprzężonej

Niezomorficzne przestrzenie Banacha mogą mieć izomorficzne (a nawet izometryczne) przestrzenie sprzężone. Dla przykładu, dla każdej pary różnych liczb porządkowych $\alpha ,\beta <\omega _{1}$ przestrzenie Banacha funkcji ciągłych

$C[0,\omega ^{\omega ^{\alpha }}],C[0,\omega ^{\omega ^{\beta }}]$

nie są izomorficzne (gdyż, na przykład, mają różny indeks Szlenka, który jest niezmiennikiem izomorficznym), jednak ich przestrzeń sprzężona jest izometryczna z przestrzenią ℓ₁. Istnieją dziedzicznie nierozkładalne przestrzenie Banacha $E$ o przestrzeni sprzężonej izometrycznej z ℓ₁.

Istnieją także pary $(E,F)$ przestrzeni Banacha, w których jedna jest ośrodkowa, a druga nieośrodkowa (nawet o gęstości continuum), których przestrzenie sprzężone są izometrycznie izomorficzne. Na przykład:

• $E=C[0,1],\,F=C[0,1]\oplus _{\infty }c_{0}(\mathbb {R} ),$
• $E=JT,\,F=JT\oplus _{2}\ell _{2}(\mathbb {R} ),$

gdzie $JT$ oznacza przestrzeń skonstruowaną przez R.C. Jamesa.

Reprezentacje elementów

W przypadku wielu konkretnych przestrzeni, takich jak:

• wszystkie przestrzenie Hilberta,
• przestrzeń funkcji ciągłych znikających w nieskończoności,
• przestrzenie ciągów ograniczonych i ciągów zbieżnych do zera,
• przestrzenie L^p,
• przestrzenie Sobolewa

można opisać postać elementów ich przestrzeni sprzężonych i dokonać pewnych wygodnych utożsamień. Wiele z twierdzeń reprezentacyjnych tego typu nosi nazwisko Frigyesa Riesza.

Przestrzenie Hilberta

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Dla każdego $x^{*}\in H^{*}$ istnieje taki element $a\in H,$ że

$x^{*}x=\langle x,a\rangle$ dla każdego $x\in H.$

Wynika stąd, że każda rzeczywista/zespolona przestrzeń Hilberta $H$ jest liniowo/antyliniowo izometrycznie izomorficzna z $H^{*}.$ Wynik ten ma zasadnicze znaczenie dla teorii przestrzeni Hilberta, a także znajduje zastosowanie, na przykład w mechanice kwantowej.

Przestrzenie funkcji ciągłych

Istnieje wiele wariantów twierdzenia Riesza związanych z reprezentacją funkcjonałów liniowych i ciągłych na przestrzeniach funkcji ciągłych. Jednym z ogólniejszych przypadków jest twierdzenie reprezentacyjne dla przestrzeni funkcji ciągłych znikających w nieskończoności. Mówi się, że funkcja

$f\colon \Omega \to \mathbb {C} ,$

gdzie $\Omega$ jest przestrzenią lokalnie zwartą, znika w nieskończoności, gdy dla dowolnego $\varepsilon >0$ istnieje taki zbiór zwarty $C\subseteq \Omega ,$ że

$|f(x)|<\varepsilon$ dla $x\in \Omega \setminus C.$

Przestrzeń funkcji ciągłych na przestrzeni lokalnie zwartej $\Omega ,$ znikających w nieskończoności tworzy przestrzeń Banacha, którą oznacza się symbolem $C_{0}(\Omega ).$

Gdy $\Omega$ jest przestrzenią zwartą, to każda określona na niej funkcja zespolona znika w nieskończoności. Z tej przyczyny często używa się, w tym przypadku, symbolu $C(\Omega )$ zamiast $C_{0}(\Omega ).$

Twierdzenie Riesza

Niech $\Omega$ będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Dla każdego $x^{*}\in C_{0}(\Omega )^{*}$ istnieje dokładnie jedna przeliczalnie addytywna regularna zespolona miara borelowska $\mu \colon {\mathcal {B}}(\Omega )\to \mathbb {C}$ taka, że

$x^{*}x=\int \limits _{\Omega }x(t)\mu (dt)$

dla każdego $x\in C_{0}(\Omega ).$ Ponadto

$\|x^{*}\|=|\mu |(\Omega ),$

gdzie $|\mu |$ oznacza wahanie całkowite miary $\mu .$ Przez regularną miarę zespoloną rozumie się miarę zespoloną, której wahanie całkowite jest miarą regularną (w klasycznym sensie). Więcej na temat twierdzenia Riesza można znaleźć w pracy Williama Arvesona, Notes on measure and integration in locally compact spaces.

Wspomnianie wyżej twierdzenie Riesza-Markowa sformułowane jest w najogólniejszej i bardzo abstrakcyjnej postaci. W roku 1909 Riesz udowodnił to twierdzenie dla przedziałów domkniętych na prostej, tzn. gdy $\Omega =[a,b]$ (wykazał on, że funkcjom ciągłym odpowiadają – w sposób niejednoznaczny – funkcje o ograniczonym wahaniu, które można wykorzystać do sformułowania tezy twierdzenia. Całka pojawiająca się w tezie była całką Stieltjesa względem właśnie takiej funkcji). Przypadek, gdy $\Omega =[a,b]^{n}$ został udowodniony w roku 1913 przez Johanna Radona.

Stefan Banach udowodnił to twierdzenie dla zwartych przestrzeni metrycznych w roku 1937, a rok później Andriej Markow dla przestrzeni normalnych. Kolejno w latach 1940 i 1941 dowody tego twierdzenia w przypadku przestrzeni całkowicie regularnych i przestrzeni zwartych podali A. D. Aleksandrow i Shizuo Kakutani.

Do innych twierdzeń reprezentacyjnych tego typu należy, na przykład, twierdzenie Riesza-Skorochoda.

Przestrzenie c i c₀

Niech $c$ i $c_{0}$ oznaczają, odpowiednio, przestrzenie ciągów zbieżnych i ciągów zbieżnych do zera (z normą supremum). Wówczas przestrzenie $c^{*}$ i $c_{0}^{*}$ są izometrycznie izomorficzne z przestrzenią $\ell ^{1},$ tj. przestrzenią ciągów sumowalnych. Mówią o tym poniższe twierdzenia Riesza dla przestrzeni $c_{0}$ i $c.$

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c₀

Jeśli $x^{*}\in c_{0}^{*},$ to istnieje dokładnie jeden ciąg $y=(s_{n})\in \ell ^{1}$ taki, że

$x^{*}x=\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}s_{n}$

dla każdego $x=(t_{n})\in c_{0}.$ Z drugiej strony, odwzorowanie $x^{*}$ określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym i ciągłym.

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c

Jeśli $x^{*}\in c^{*},$ to istnieje dokładnie jeden ciąg $y=(s_{0},s_{1},s_{2},\dots )\in \ell ^{1}$ taki, że

$x^{*}x=ts_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(t_{n}-t)s_{n},$

dla każdego $x=(t_{n})\in c,$ gdzie $t$ jest granicą ciągu $(t_{n}).$ Na odwrót, $x^{*}$ określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym ciągłym. Biorąc pod uwagę powyższe dwa twierdzenia wygodnie jest dokonać utożsamienia

$c_{0}^{*}=c^{*}=\ell ^{1}.$

Przestrzenie L^p

Niech ${\mathcal {A}}$ będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego niepustego zbioru $\Omega$ oraz niech $\mu$ będzie miarą σ-skończoną określoną na ${\mathcal {A}}.$ Ponadto niech $p$ będzie ustaloną liczbą z przedziału $[1,\infty ).$ Niech

$L^{p}=L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$

oznacza przestrzeń zespolonych funkcji ${\mathcal {A}}$-mierzalnych, całkowalnych z p-tą potęgą. Jeżeli $\Omega =\mathbb {N} ,{\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ oraz $\mu$ jest miarą liczącą, to

$L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )=\ell ^{p},$

skąd sformułowane niżej twierdzenie Riesza obejmuje także przypadek przestrzeni $\ell ^{p}$ szeregów sumowalnych w p-tej potędze.

Twierdzenie Riesza

Jeśli $x^{*}\in X^{*},$ to istnieje dokładnie jedna ${\mathcal {A}}$-mierzalna funkcja $y$ taka, że

$x^{*}x=\int \limits _{\Omega }x(t)y(t)\mu (dt)$

dla każdego $x\in L^{p}.$ Przy czym, gdy

• $1<p<\infty ,$ to $y\in L^{q}$ oraz $\|x^{*}\|=\|y\|_{L^{q}},$ gdzie ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,$
• $p=1,$ to $y\in L^{\infty }$ oraz $\|x^{*}\|=\|y\|_{L^{\infty }}.$

Wnioskiem z twierdzenia Riesza jest fakt, że przestrzeń sprzężona do $L^{p}$ jest izometrycznie izomorficzna z $L^{q},$ gdzie ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ (przyjmując ewentualnie umowę, że ${\tfrac {1}{\infty }}=0$ – zob. wykładniki sprzężone). W związku wygodnie stosować utożsamienie, że

$(L^{p})^{*}=L^{q}.$

Wynik ten został zauważony i udowodniony po raz pierwszy przez Riesza w roku 1909 w przypadku, gdy $\Omega$ jest przedziałem domkniętym na prostej z miarą Lebesgue’a oraz $1<p<\infty .$ Przypadek dla $p=1$ udowodnił, w roku 1919, Hugo Steinhaus.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni ciągów ograniczonych

Jeżeli $x\in \ell ^{\infty },$ tzn. $x$ jest ciągiem ograniczonym, to jego zbiór wartości jest zawarty w pewnej kuli domkniętej $B.$ Wówczas ciąg $x$ można utożsamiać z funkcją

$x\colon \mathbb {N} \to B.$

Skoro $\mathbb {N}$ jest przestrzenią dyskretną, a $B$ przestrzenią zwartą (por. twierdzenie Heinego-Borela), to $x$ jest funkcją ciągłą. Jeżeli $\beta \mathbb {N}$ jest uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni $\mathbb {N} ,$ to istnieje dokładnie jedno ciągłe przedłużenie $\beta x$ funkcji $x$ na $\beta \mathbb {N}$ (postać $\beta x$ nie zależy od wyboru kuli $B$). Innymi słowy, każdemu elementowi przestrzeni $\ell ^{\infty }$ odpowiada pewien element przestrzeni $C(\beta \mathbb {N} ).$ Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, ponieważ każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej $\beta \mathbb {N}$ jest ograniczona (zob. twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów), a więc jeśli $y\in C(\beta \mathbb {N} ),$ to również $y|_{\mathbb {N} }$ jest ograniczona, czyli

$y|_{\mathbb {N} }\in \ell ^{\infty }.$

Co więcej, odwzorowanie to jest izometrią. Utożsamiając

$\ell ^{\infty }=C(\beta \mathbb {N} )$

można zastosować twierdzenie Riesza dla przestrzeni funkcji ciągłych, z którego wynika, że przestrzeń $(\ell ^{\infty })^{*}$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na $\beta \mathbb {N} .$

W przypadku przestrzeni $L^{\infty }=L^{\infty }(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ można uogólnić powyższą metodę szukania opisu $(L^{\infty })^{*}$ zastępując uzwarcenie Čecha-Stone’a przestrzeni $\Omega$ przestrzenią Stone’a $S$ algebry miary $\mu ,$ to znaczy przestrzeni Stone’a ilorazowej algebry Boole’a

${\mathcal {P}}(\Omega )/{\mathcal {N}}_{\mu },$

gdzie ${\mathcal {N}}_{\mu }$ jest ideałem podzbiorów $\mu$-miary zero zbioru $\Omega .$ Wówczas $(L^{\infty })^{*}$ można utożsamiać z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na $S.$

Przestrzenie Sobolewa

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa $W^{m,p}(\Omega )$ dla $1\leqslant p<\infty$ jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na $\Omega$ o pewnych własnościach (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech $\Omega$ będzie otwartym podzbiorem przestrzeni $\mathbb {R} ^{k}$ oraz $1\leqslant p<\infty .$ Dodatkowo niech $N$ oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od $m,$ tzn.

$N=\sum _{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}~1,$

oraz $L_{N}^{p}=L^{p}\times \ldots \times L^{p},$ czyli niech $L_{N}^{p}$ będzie produktem $N$ egzemplarzy przestrzeni $L^{p}.$ Przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha z normą

$\|(u_{1},\dots ,u_{N})\|=\left(\sum _{j=1}^{N}(\|u_{j}\|_{L^{p}})^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.$

Przestrzeń $(W^{m,p}(\Omega ))^{*}$ jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią $Y$ dystrybucji $T$ na $\Omega$ takich, że

$T=\sum _{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}~(-1)^{|\alpha |}D^{\alpha }T_{v_{\alpha }},$

dla pewnego $v=(v_{\alpha })_{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}\in L_{N}^{q}$ i $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p.$ Ponadto

$\|T\|_{Y}=\inf \|v\|_{L_{N}^{q}},$

gdzie kres brany jest po wszystkich $v\in L_{N}^{q},$ dla których $T$ można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje jeszcze jeden sposób charakteryzacji przestrzeni $(W^{m,p}(\Omega ))^{*}$ dla $1\leqslant p<\infty .$ Mianowicie, przestrzeń $(W^{m,p}(\Omega ))^{*}$ można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni $L^{q}:=L_{\sim }^{q}$ wyposażonej w normę

$\|v\|_{L_{\sim }^{q}}=\sup\{\langle u,v\rangle \colon \,u\in W^{m,p}(\Omega ),\|u\|_{W^{m,p}(\Omega )}\leqslant 1\},$

tzn.

$(W^{m,p}(\Omega ))^{*}={\overline {L_{\sim }^{q}}}$

gdzie $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p.$

Refleksywność a własność Radona-Nikodýma przestrzeni sprzężonej

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodýma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej $X^{*}$ (a więc w konsekwencji przestrzeni $X$) a posiadaniem przez nią własności Radona-Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

$X^{*}$ jest refleksywna jeśli:	$X^{*}$ ma własność Radona-Nikodýma jeśli:
$X^{****}$ jest ściśle wypukła
$X^{***}$ jest gładka (ang. smooth)	$X^{***}$ jest ściśle wypukła.
$X^{**}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła	$X^{**}$ jest gładka
$X^{*}$ jest silnie gładka (ang. very smooth)	$X^{*}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła
$X$ jest jednostajnie wypukła	$X^{*}$ jest silnie gładka

gdzie przestrzeń $X$ nazywana jest

• gładką, gdy dla każdego takiego elementu $x$ przestrzeni $X,$ że $\|x\|=1$ istnieje dokładnie jeden taki element $x^{*}$ przestrzeni $X^{*},$ że $\|x^{*}\|=1$ oraz $x^{*}x=1.$
• silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie $x\mapsto x^{*}$ takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie słabej topologii w $X^{*}.$

Bibliografia

• Robert R. Adams: Sobolev Spaces. Acadamiec Press, 1975. ISBN 0-12-044150-0.brak strony w książce
• Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.brak strony w książce
• Joseph Diestel, Jerry Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. ISBN 978-0821815151.brak strony w książce
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer, 1998. ISBN 978-0-387-98431-5.brak strony w książce
• Julian Musielak. Jak powstawała analiza funkcjonalna. „Wiadomości Matematyczne”. 43, 2007. Polskie Towarzystwo Matematyczne. Warszawa. ISSN 0373-8302. [dostęp 2009-07-11]. (pol.). brak numeru strony
• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1989.brak strony w książce
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser, 2007. ISBN 978-0-8176-4367-6.brak strony w książce
• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.brak strony w książce
• Laurent Schwartz: Théorie des distributions. Hermann, 1950.brak strony w książce