Przykłady przestrzeni liniowych

Ten artykuł zawiera pewne przykłady przestrzeni liniowych. W artykule „przestrzeń liniowa” znajdują się definicje używanych tutaj pojęć. Zobacz też: wymiar, baza.

Notacja. $K$ będzie oznaczać dowolne ciało takie jak liczby rzeczywiste $\mathbb {R}$ lub liczby zespolone $\mathbb {C} .$ Zobacz też: lista symboli matematycznych.

Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa

Najprostszy przykład przestrzeni liniowej jest trywialny: $\{\mathbf {0} \}.$ Zawiera ona tylko wektor zerowy (zob. 3. aksjomat przestrzeni liniowej). Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są trywialne. Bazą tej przestrzeni liniowej jest zbiór pusty, tak więc $\{\mathbf {0} \}$ jest 0-wymiarową przestrzenią liniową nad $K.$ Każda przestrzeń liniowa nad $K$ zawiera podprzestrzeń z nią izomorficzną.

Ciało

Kolejnym prostym przykładem jest samo ciało $K.$ Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem w ciele, a mnożenie przez skalar – mnożeniem z ciała. Jedynka $K$ służy jako baza, tak więc $K$ jest 1-wymiarową przestrzenią liniową nad sobą.

Ciało jest raczej szczególną przestrzenią liniową; rzeczywiście jest najprostszym przykładem algebry przemiennej nad $K.$ Dodatkowo $K$ ma tylko dwie podprzestrzenie: $\{\mathbf {0} \}$ oraz samo $K.$

Przestrzeń współrzędnych

Jest to prawdopodobnie najistotniejszy przykład przestrzeni liniowej. Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n,$ przestrzeń wszystkich ciągów $n$-elementowych o wartościach z $K$ stanowi $n$-wymiarową przestrzeń liniową nad $K$ nazywaną czasami przestrzenią współrzędnych i oznaczaną $K^{n}.$ Element $K^{n}$ zapisuje się

$\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$

gdzie każdy $x_{i}\in K.$ Działania na $K^{n}$ zdefiniowane są wzorami:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n}),$

$\alpha \mathbf {x} =(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n}),$

$\mathbf {0} =(0,0,\dots ,0),$

$\mathbf {-x} =(-x_{1},-x_{2},\dots ,-x_{n}).$

Najczęstsze przypadki obejmują za ciało $K$ liczby rzeczywiste dając w ten sposób przestrzeń współrzędnych rzeczywistych $\mathbb {R} ^{n}$ lub liczby zespolone dając przestrzeń współrzędnych zespolonych $\mathbb {C} ^{n}.$

Kwaterniony i oktawy Cayleya (oktoniony) są odpowiednio cztero- i ośmiowymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad liczbami rzeczywistymi.

Przestrzeń liniowa $K^{n}$ ma bazę kanoniczną:

$\mathbf {e} _{1}=(1,0,\dots ,0),$

$\mathbf {e} _{2}=(0,1,\dots ,0),$

$\vdots$

$\mathbf {e} _{n}=(0,0,\dots ,1),$

gdzie $1$ oznacza element neutralny mnożenia w $K.$

Nieskończona przestrzeń współrzędnych

Niech $K^{\infty }$ oznacza przestrzeń ciągów nieskończonych elementów z $K$ takich, że tylko skończenie wiele elementów jest różnych od zera. Oznacza to, że jeśli zapiszemy element $K^{\infty }$ jako

$\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ),$

to tylko skończenie wiele $x_{i}$ jest niezerowych (czyli od pewnego momentu wszystkie współrzędne są zerem). Dodawanie i mnożenie przez skalar dane są tak jak w skończonej przestrzeni współrzędnych. Wymiar $K^{\infty }$ jest przeliczalnie nieskończony. Baza kanoniczna składa się z wektorów $\mathbf {e} _{i}$ zawierających $1$ na $i$-tej współrzędnej i zera wszędzie indziej. Ta przestrzeń liniowa jest koproduktem (lub sumą prostą) przeliczalnie wielu egzemplarzy przestrzeni liniowej $K.$

Należy zauważyć tutaj rolę warunku skończoności. Można by rozważać dowolne ciągi elementów z $K,$ które również tworzą przestrzeń liniową z takimi samym działaniami, często oznaczaną $K^{\mathbb {N} }$ – zob. niżej. Jednakże wymiar takiej przestrzeni jest nieprzeliczalnie nieskończony i nie ma oczywistego wyboru bazy. Ponieważ wymiary się różnią, $K^{\mathbb {N} }$ nie jest izomorficzna z $K^{\infty };$ w zamian jest to produkt przeliczalnie wielu egzemplarzy $K.$

Warto zauważyć, że $K^{\infty }$ jest (izomorficzna z) przestrzenią sprzężoną $K^{\infty },$ ponieważ przekształcenie liniowe $T$ z $K^{\infty }$ w $K$ jest jednoznacznie określone przez jego wartości $T(\mathbf {e} _{i})$ na elementach bazy $K^{\infty },$ a te wartości mogą być dowolnie wybrane. Stąd widać, że przestrzeń liniowa nie musi być izomorficzna do swojej przestrzeni sprzężonej, jeśli jest ona nieskończeniewymiarowa, w przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego.

Iloczyn przestrzeni liniowych

Rozpoczynając od $n$ lub przeliczalnej rodziny przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem, możemy określić iloczyn przestrzeni (przestrzeń produktową) jak wyżej.

Macierze

Niech $K^{m\times n}$ oznacza zbiór macierzy z elementami w $K.$ Wówczas $K^{m\times n}$ jest przestrzenią liniową nad $K.$ Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem macierzy, a mnożenie przez skalar jest zdefiniowane naturalnie (jako mnożenie każdego elementu przez ten sam skalar). Rolę wektora zerowego pełni macierz zerowa. Wymiar $K^{m\times n}$ wynosi $mn.$ Jednym z możliwych wyborów bazy są macierze z jednym elementem jednostkowym i pozostałych elementach równych zeru.

Przestrzenie liniowe wielomianów

Pojedyncza zmienna

Zbiór wielomianów o współczynnikach w $K$ jest przestrzenią liniową nad $K$ oznaczaną $K[x].$ Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są określone w oczywisty sposób. Jeżeli stopień wielomianów jest nieograniczony, to wymiar $K[x]$ jest przeliczalnie nieskończony. Jeżeli ograniczy się stopień wielomianów do ściśle mniej niż $n$ otrzymamy przestrzeń liniową o wymiarze $n.$

Jedną z możliwych baz dla $K[x]$ jest złożona z wielomianów $1,x,x^{2},x^{3},\dots {:}$ współrzędnymi wielomianu w tej bazie są jego współczynniki, a przekształcenie przesyłające wielomian na ciąg jego współczynników jest izomorfizmem liniowym z $K[x]$ w nieskończoną przestrzeń współrzędnych $K^{\infty }.$

Wiele zmiennych

Zbiór wielomianów wielu zmiennych o współczynnikach w $K$ jest przestrzenią liniową nad $K$ oznaczaną $K[x_{1},x_{2},\dots ,x_{r}],$ gdzie $r$ oznacza liczbę współrzędnych.

Przestrzenie liniowe ciagów

Jak wspomniano wyżej, przestrzeń liniową (nad danym ciałem) tworzą wszystkie ciągi, które od pewnego momentu są zerowe (stałe). Tę przestrzeń można ugoólniać na ciągi:

• sumowalne (suma ich wyrazów jest skończona), oznaczane przez $s$. Przykładem ciągu, który ma nieskończenie wiele wyrazów niezerowych, ale jest sumowalny, jest $a_{n}:={\frac {1}{n^{2}}}$ – ciąg odwrotności kwadratów kolejnych liczb naturalnych. Innym znanym przykładem ciągu sumowalnego jest ciąg geometryczny $a_{n}:=a_{0}q^{n}$ dla ilorazów mniejszych od jedności ($q<1$). Jego sumą jest szereg geometryczny.
• sumowalne z kwadratem ($\ell ^{2}$). Przykładem ciągu, który nie jest sumowalny, ale jest sumowalny z kwadratem, jest ciąg harmoniczny odwrotności kolejnych liczb naturalnych: $a_{n}:={\frac {1}{n}}.$ Jego suma (szereg harmoniczny) jest nieskończona.
• sumowalne z modułem i dowolną potęgą (Przestrzeń Lp),
• zbieżne do zera, oznaczane przez $c_{0}$,
• zbieżne, oznaczane przez $c$,
• ograniczone, oznaczane przez $\ell ^{\infty }$.

Oprócz tego w przestrzeni $s$ ciągów sumowalnych można wyróżnić podprzestrzeń $s_{0}$ ciągów z sumą równą zero. Przecina się ona z nieskończoną przestrzenią współrzędnych.

Przestrzenie funkcyjne

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem, a $V$ dowolną przestrzenią liniową nad $K.$ Przestrzeń wszystkich funkcji z $X$ w $V$ jest przestrzenią liniową nad $K$ z działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar określonymi jak następująco – dla dowolnych funkcji $f,\,g$ i dowolnego skalara $\alpha {:}$

$(f+g)(x)=f(x)+g(x),$

$(\alpha f)(x)=\alpha f(x),$

gdzie działania po prawej stronie są określone w $V.$ Wektorem zerowym jest przez funkcja stała. Przestrzeń wszystkich funkcji z $X$ w $V$ jest zwykle oznaczana $V^{X}.$

Jeżeli zbiór $X$ jest skończony, a $V$ skończeniewymiarowa, to $V^{X}$ ma wymiar $|X|^{\dim V},$ w pozostałych przypadkach przestrzeń jest nieskończeniewymiarowa (nieprzeliczalnie, jeśli $X$ jest nieskończony).

Wiele przestrzeni liniowych badanych w matematyce jest podprzestrzeniami pewnych przestrzeni funkcyjnych.

Przykładem rzeczywistej przestrzeni funkcyjnej są funkcje schodkowe.

Uogólnione przestrzenie współrzędnych

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy zbiór wszystkich funkcji z $X$ w $K,$ które przyjmują wartość zero poza skończoną liczbą argumentów. Przestrzeń ta jest podprzestrzenią liniową $K^{X}.$

Przestrzeń opisana wyżej jest zwykle oznaczana $(K^{X})_{0}$ i nazywana jest uogólnioną przestrzenią współrzędnych z następującego powodu. Jeżeli $X$ jest zbiorem liczb od $1$ do $n,$ to łatwo widać, że przestrzeń ta jest równoważna przestrzeni współrzędnych $K^{n}.$ Podobnie jeżeli $X$ jest zbiorem liczb naturalnych $\mathbb {N} ,$ to przestrzeń ta jest po prostu $K^{\infty }.$

Baza kanoniczna dla $(K^{X})_{0}$ jest zbiorem funkcji $\{\delta _{x}|x\in X\}$ określonych wzorem

$\delta _{x}(y)={\begin{cases}1,&x=y\\0,&x\neq y\end{cases}}.$

Wymiar $(K^{X})_{0}$ jest więc równy mocy zbioru $X.$ W ten sposób możemy skonstruować przestrzeń liniową dowolnego wymiaru nad dowolnym ciałem. Co więcej, każda przestrzeń liniowa jest izomorficzna z jedną tej postaci. Każdy wybór bazy określa izomorfizm przez przesłanie bazy na bazę kanoniczną $(K^{X})_{0}.$

Uogólniona przestrzeń współrzędnych może być także rozumiana jako suma prosta $|X|$ egzemplarzy $K$ (czyli jednej dla każdego punktu z $X$):

$(K^{X})_{0}=\bigoplus _{x\in X}~K.$

Warunek skończoności jest zawarty w definicji sumy prostej. Warto porównać to z iloczynem prostym $|X|$ egzemplarzy $K,$ który dałby pełną przestrzeń funkcyjną $K^{X}.$

Przekształcenia liniowe

Ważnym przykładem powstającym w kontekście samej algebry liniowej jest przestrzeń liniowa przekształceń liniowych. Niech $\operatorname {L} (V,W)$ oznacza zbiór wszystkich przekształceń liniowych z $V$ do $W$ (obie z nich są przestrzeniami liniowymi nad $K$). Wówczas Niech $\operatorname {L} (V,W)$ jest podprzestrzenią $W^{V},$ ponieważ jest ona zamknięta na dodawanie i mnożenie przez skalar.

Zauważmy, że $\operatorname {L} (K^{n},K^{m})$ może być identyfikowane z przestrzenią macierzy $K^{m\times n}$ w naturalny sposób. Rzeczywiście, wybrawszy odpowiednie bazy w skończeniewymiarowych przestrzeniach $V$ oraz $W$ przestrzeń $\operatorname {L} (V,W)$ może być także identyfikowana z $K^{m\times n}.$ Ta identyfikacja zwykle zależy od wyboru bazy.

Funkcje ciągłe

Jeżeli $X$ jest pewną przestrzenią topologiczną, taką jak przedział jednostkowy $[0,1],$ możemy rozważać przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z $X$ w $\mathbb {R} .$ Jest to podprzestrzeń liniowa $\mathbb {R} ^{X},$ ponieważ suma dowolnych dwóch funkcji ciągłych jest ciągła, a również mnożenie przez skalar jest ciągłe.

Podprzestrzeniami tej przestrzeni są funkcje ciągłe o szczególnych właściwościach analitycznych: funkcje różniczkowalna, gładkie i analityczne.

Równania różniczkowe

Podzbiór przestrzeni wszystkich funkcji z $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ składających się z (wystarczająco wiele razy różniczkowalnych) funkcji, które spełniają pewne równanie różniczkowe jest podprzestrzenią $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} },$ o ile równanie jest liniowe. Jest to spowodowane faktem, iż różniczkowanie jest działaniem liniowym, czyli $(af+bg)^{'}=af^{'}+bg^{'},$ gdzie apostrof oznacza operator różniczkowania.

Rozszerzenia ciała

Przypuśćmy, że $L$ jest podciałem $K$ (por. rozszerzenie ciała). Wówczas $K$ może być uważane za przestrzeń liniową nad $L$ przy ograniczeniu mnożenia skalarów do elementów z $L$ (dodawanie wektorów jest zdefiniowane normalnie). Wymiar tej przestrzeni liniowej jest nazywany stopniem rozszerzenia. Na przykład liczby zespolone $\mathbb {C}$ tworzą dwuwymiarową przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi $\mathbb {R} .$ Podobnie liczby rzeczywiste $\mathbb {R}$ tworzą (nieprzeliczalnie) nieskończeniewymiarową przestrzeń liniową nad liczbami wymiernymi $\mathbb {Q} .$

Jeżeli $V$ jest przestrzenią liniową nad $K,$ to może być uważana również za przestrzeń liniową nad $L.$ Wymiary są związane wzorem

$\dim _{L}V=\dim _{K}V\cdot \dim _{L}K.$

Na przykład $\mathbb {C} ^{n},$ uważana za przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi ma wymiar $2n.$

Skończeniewymiarowe przestrzenie liniowe

Abstrahując od trywialnego przypadku zerowymiarowej przestrzeni nad dowolnym ciałem, przestrzeń liniowa ma skończenie wiele elementów wtedy i tylko wtedy, gdy $K$ jest ciałem skończonym i przestrzeń liniowa jest skończeniewymiarowa. Stąd mamy $K_{q},$ jednoznaczne, skończone ciało o $q$ elementach. $q$ musi być tutaj potęgą liczby pierwszej ($q=p^{m},\quad p$ – pierwsza). Wtedy dowolna $n$-wymiarowa przestrzeń liniowa nad $K_{q}$ będzie mieć $q^{n}$ elementów. Liczba elementów $V$ również jest potęgą liczby pierwszej. Głównym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń współrzędnych $(K_{q})^{n}.$

Zobacz też

• przestrzeń liniowa

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.