Równania Friedmana

Równania Friedmana – podstawowe równania kosmologii relatywistycznej. Określają one ewolucję wszechświata przy założeniu jego przestrzennej jednorodności i izotropowości (braku wyróżnionego miejsca i kierunku). Zostały po raz pierwszy wyprowadzone przez rosyjskiego uczonego Aleksandra Friedmana w 1922 roku z równań pola Einsteina dla płynu o danym ciśnieniu $p$ i gęstości $\rho$ z metryką zwaną obecnie metryką Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera.

Postać równań

Istnieją dwa niezależne równania Friedmana. Pierwsze z nich określa zmiany pierwszej pochodnej czynnika skali $a$ w zależności od czasu kosmicznego $t{:}$

$H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}},$

gdzie:

$H$ to parametr Hubble’a,

$G$ – newtonowska stała grawitacji,

$k$ – krzywizna przestrzeni,

$c$ – prędkość światła w próżni,

$\Lambda$ – stała kosmologiczna.

Drugie z równań Friedmana, zwane również równaniem na przyspieszenie, zawiera drugą pochodną czynnika skali po czasie kosmicznym:

${\dot {H}}+H^{2}\equiv {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}.$

Parametr Hubble’a zmienia się w czasie, a jego obecna wartość, $H_{0},$ zwana jest stałą Hubble’a i pojawia się jako współczynnik proporcjonalności w prawie Hubble’a. Natomiast rosnący w czasie czynnik skali (na co wskazują obserwacje astronomiczne) oznacza ekspansję wszechświata.

Z równań Friedmana można wyeliminować ciśnienie, jeżeli zna się równanie stanu rozważanego płynu, czyli związek między jego gęstością a ciśnieniem. Natomiast wprowadzenie parametru gęstości $\Omega =\rho /\rho _{c},$ gdzie $\rho _{c}$ jest gęstością krytyczną, pozwala na przeformułowanie pierwszego równania Friedmana do ogólnej postaci:

${\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{r}a^{-4}+\Omega _{m}a^{-3}+\Omega _{k}a^{-2}+\Omega _{\Lambda }.$

Wielkości $\Omega _{r},$ $\Omega _{m}$ i $\Omega _{\Lambda }$ są odpowiednio parametrami gęstości promieniowania, materii i stałej kosmologicznej, zaś $\Omega _{k}$ jest „parametrem krzywizny”. Znajomość tych parametrów, a więc znajomość składu wszechświata, pozwala wnioskować o jego przeszłej i przyszłej ewolucji, oczywiście w przypadku, gdy spełnione jest założenie o jego jednorodności i izotropowości (lub też jest ono dobrym przybliżeniem).