Równanie Einsteina

Równanie Einsteina – równanie pola ogólnej teorii względności, zwane też równaniem pola grawitacyjnego.

Schemat soczewkowania grawitacyjnego z równaniem Einsteina na ścianie Muzeum Boerhaave w Lejdzie (Holandia) namalowany przez Stichtinga Tegenbeelda.

Równanie to ma następującą postać:

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi }{c^{4}}}GT_{\mu \nu },$

gdzie:

$R_{\mu \nu }$ – tensor krzywizny Ricciego,

$R$ – skalar krzywizny Ricciego,

$g_{\mu \nu }$ – tensor metryczny,

$\Lambda$ – stała kosmologiczna,

$T_{\mu \nu }$ – tensor energii-pędu,

$\pi$ – liczba pi,

$c$ – prędkość światła w próżni,

$G$ – stała grawitacji.

Natomiast $g_{\mu \nu }$ opisuje metrykę rozmaitości i jest tensorem symetrycznym 4 × 4, ma więc 10 niezależnych składowych.

Jest to równanie tensorowe, jednak rozbijając tensor na składowe, można otrzymać z niego układ równań liczbowych. Biorąc pod uwagę dowolność przy wyborze czterech współrzędnych czasoprzestrzennych, liczba niezależnych równań wynosi 6.

Powyższa postać równania przedstawiona jest przy użyciu konwencji znaków tensora metrycznego $(+\,{-}\,{-}\,{-})$ stosowanej często w polskiej literaturze. Konwencja ta nie jest jedyną możliwą. Spotyka się czasem (np. w angielskiej Wikipedii) zapis przy użyciu alternatywnej konwencji $(-\,{+}\,{+}\,{+}),$ co prowadzi do zmiany znaku prawej strony równania.

Równanie Einsteina można rozumieć jako równanie na tensor metryczny $g_{\mu \nu },$ który jest określony poprzez rozkład materii i energii zawarty w tensorze energii-pędu.

Pomimo prostego wyglądu równanie Einsteina jest bardzo skomplikowane. Spowodowane jest to złożoną i nieliniową zależnością tensora i skalara krzywizny Ricciego od tensora metrycznego. W konsekwencji równanie Einsteina zostało rozwiązane analityczne jedynie w nielicznych przypadkach – np. dla układów o sferycznie-symetrycznym rozkładzie masy (np. metryka Schwarzschilda).

W zastosowaniach astrofizycznych (ale nie kosmologicznych) stałą kosmologiczną można zaniedbać. Równanie Einsteina bez stałej kosmologicznej można zapisać w bardziej zwartej postaci, definiując tensor Einsteina:

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu },$

który jest symetrycznym tensorem drugiego rzędu będącym funkcją tensora metrycznego $g_{\mu \nu }.$ Przechodząc do jednostek geometrycznych, gdzie $G=c=1,$ otrzymamy równanie Einsteina w postaci:

$G_{\mu \nu }=-8\pi T_{\mu \nu }.$

Lewa strona równania reprezentuje krzywiznę czasoprzestrzeni określoną tensorem metrycznym. Prawa strona natomiast opisuje materię i energię wypełniającą czasoprzestrzeń. Tak więc pomimo złożonej szczegółowej formy matematycznej fundamentalne znaczenie równania Einsteina można zamknąć w stwierdzeniu: rozkład materii i energii w czasoprzestrzeni wprost i jednoznacznie określa jej krzywiznę.

Rozkład materii i energii w czasoprzestrzeni opisywany jest przez tensor energii-pędu. Każda z jego składowych określa strumień pędu na jednostkę objętości przestrzeni. Składowa 0,0 oznacza np. gęstość masy. W zastosowaniach kosmologicznych można przyjąć przybliżony wzór:

$T_{\mu \nu }=(\epsilon +P)u_{\mu }u_{\nu }-g_{\mu \nu }P,$

gdzie:

$u$ – wektor jednostkowy $u_{\mu }u^{\mu }=1,$

$\epsilon$ – przestrzenny rozkład energii,

$P$ – rozkład ciśnienia.

Wraz z równaniem linii geodezyjnych, równanie Einsteina stanowi podstawę matematycznego sformułowania ogólnej teorii względności.

Nieliniowość równania

Równanie Einsteina jest układem 10 sprzężonych równań eliptyczno-hiperbolicznych na składowe tensora metrycznego. Nieliniowość równań odróżnia ogólną teorię względności od innych współczesnych teorii fizycznych. Na przykład równania Maxwella są liniowe tak w polach magnetycznych, jak i elektrycznych oraz w rozkładach prądów i ładunków. Podobnie równanie Schrödingera mechaniki kwantowej jest liniowe w funkcji falowej, co oznacza, że suma rozwiązań jest także rozwiązaniem.

Rozwiązania w próżni

Pamiętając, że $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$ równanie Einsteina można wysumować z $g^{\mu \nu },$ otrzymujemy:

$-R+4\Lambda =-\kappa T,$

gdzie:

$T=g^{\mu \nu }T_{\mu \nu }$ – ślad tensora energii-pędu.

W próżni gdy $\epsilon =0$ i $P=0$ oraz gdy $\Lambda =0,$ to rozwiązaniem równań Einsteina jest

1. przestrzeń płaska, tj. taka że $R_{\mu \nu }=0,$ np. przestrzeń Minkowskiego,
2. rozwiązanie z metryką Schwarzschilda.

Gdy stała kosmologiczna jest różna od zera, to nawet w próżni czasoprzestrzeń ma stałą krzywiznę $R=4\Lambda$ (Wszechświat de Sittera). Podobnie będzie, gdy materia posiada znikający ślad tensora energii-pędu $T.$ Taką własność ma materia ultrarelatywistyczna (gdy masa m → 0, wtedy równanie stanu daje $P=\epsilon /3,$ przykładem jest gaz fotonowy).

Zobacz też

• linie geodezyjne w metryce Schwarzschilda
• metryka Schwarzschilda
• wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda

Bibliografia

• John C.J.C. Baez John C.J.C., Emory F.E.F. Bunn Emory F.E.F., The meaning of Einstein’s equation, „American Journal of Physics”, 73 (7), 2005, s. 644–652, DOI: 10.1119/1.1852541, arXiv:gr-qc/0103044  (ang.).

Linki zewnętrzne

• Einstein equations, Encyclopedia of Mathematics [dostęp 2021-03-12].