Równanie symetryczne – równanie algebraiczne postaci
a
n
x
n
+
…
+
a
1
x
+
a
0
=
0
,
{\displaystyle a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0,}
i zachodzi
a
n
−
i
=
a
i
.
{\displaystyle a_{n-i}=a_{i}.}
Każde równanie symetryczne stopnia co najwyżej
2
n
+
1
{\displaystyle 2n+1}
n
.
{\displaystyle n.}
Pierwiastkiem każdego równania symetrycznego stopnia nieparzystego jest liczba -1. A zatem
W
(
−
1
)
=
0
{\displaystyle W(-1)=0}
twierdzenia Bézouta możemy podzielić obie strony równania równanie przez
x
+
1
,
{\displaystyle x+1,}
Aby rozwiązać równanie symetryczne stopnia parzystego:
a
2
m
x
2
m
+
a
2
m
−
1
x
2
m
−
1
+
…
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle a_{2m}x^{2m}+a_{2m-1}x^{2m-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0}
gdzie
a
2
m
−
k
=
a
k
{\displaystyle a_{2m-k}=a_{k}}
a
2
m
≠
0
{\displaystyle a_{2m}\neq 0}
x
m
.
{\displaystyle x^{m}.}
a
2
m
(
x
m
+
x
−
m
)
+
a
2
m
−
1
(
x
m
−
1
+
x
1
−
m
)
+
…
+
a
m
+
1
(
x
+
x
−
1
)
+
a
m
=
0.
{\displaystyle a_{2m}(x^{m}+x^{-m})+a_{2m-1}(x^{m-1}+x^{1-m})+\ldots +a_{m+1}(x+x^{-1})+a_{m}=0.}
Podstawmy teraz
y
=
x
+
x
−
1
.
{\displaystyle y=x+x^{-1}.}
x
k
+
x
−
k
{\displaystyle x^{k}+x^{-k}}
y
:
{\displaystyle y{:}}
x
2
+
x
−
2
=
y
2
−
2
,
{\displaystyle x^{2}+x^{-2}=y^{2}-2,}
x
3
+
x
−
3
=
y
3
−
3
y
{\displaystyle x^{3}+x^{-3}=y^{3}-3y}
i ogólnie, korzystając ze związku
(
x
+
x
−
1
)
(
x
n
+
x
−
n
)
=
x
n
+
1
+
x
−
n
−
1
+
x
n
−
1
+
x
1
−
n
,
{\displaystyle (x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})=x^{n+1}+x^{-n-1}+x^{n-1}+x^{1-n},}
czyli
x
n
+
1
+
x
−
n
−
1
=
(
x
+
x
−
1
)
(
x
n
+
x
−
n
)
−
x
n
−
1
−
x
1
−
n
{\displaystyle x^{n+1}+x^{-n-1}=(x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})-x^{n-1}-x^{1-n}}
możemy obliczyć
x
n
+
1
+
x
−
n
−
1
,
{\displaystyle x^{n+1}+x^{-n-1},}
x
n
+
x
−
n
{\displaystyle x^{n}+x^{-n}}
x
n
−
1
+
x
1
−
n
.
{\displaystyle x^{n-1}+x^{1-n}.}
Tak więc po podstawieniu
y
=
x
+
x
−
1
{\displaystyle y=x+x^{-1}}
m
:
{\displaystyle m{:}}
b
m
y
m
+
b
m
−
1
y
m
−
1
+
…
+
b
1
y
+
b
0
=
0.
{\displaystyle b_{m}y^{m}+b_{m-1}y^{m-1}+\ldots +b_{1}y+b_{0}=0.}
Rozwiązując to równanie, ze związku
y
=
x
+
x
−
1
{\displaystyle y=x+x^{-1}}
Równanie
a
x
3
+
b
x
2
+
b
x
+
a
=
0
,
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+bx+a=0,}
a
≠
0.
{\displaystyle a\neq 0.}
Wiedząc, iż rozwiązaniem równania jest -1, dzielimy lewą stronę równania przez
x
+
1.
{\displaystyle x+1.}
a
x
2
+
(
b
−
a
)
x
+
a
=
0.
{\displaystyle ax^{2}+(b-a)x+a=0.}
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
b
x
+
a
=
0
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0}
≠
0.
{\displaystyle \neq 0.}
Dzieląc obustronnie przez
x
2
{\displaystyle x^{2}}
a
(
x
2
+
x
−
2
)
+
b
(
x
+
x
−
1
)
+
c
=
0.
{\displaystyle a(x^{2}+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0.}
Podstawiając
y
=
x
+
x
−
1
,
{\displaystyle y=x+x^{-1},}
x
2
+
x
−
2
=
y
2
−
2.
{\displaystyle x^{2}+x^{-2}=y^{2}-2.}
a
(
y
2
−
2
)
+
b
y
+
c
=
0
,
{\displaystyle a(y^{2}-2)+by+c=0,}
a
y
2
+
b
y
+
c
−
2
a
=
0
{\displaystyle ay^{2}+by+c-2a=0}
i korzystając z tych rozwiązań, obliczyć
x
.
{\displaystyle x.}
