Rachunek wariacyjny

Rachunek wariacyjny – dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Problem brachistochrony – klasyczne zagadnienie rachunku wariacyjnego

Katenoida ma najmniejsze pole wśród powierzchni łączących dwa równe okręgi. Jest to rozwiązanie przykładowego zagadnienia Plateau.

Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla której dany funkcjonał przyjmuje wartość ekstremalną. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji.

Początków powstania rachunku wariacyjnego należy szukać w rywalizacji braci Jakoba oraz Johanna Bernoullich oraz problemu brachistochrony.

Uwagi ogólne

Podstawowym zadaniem rachunku wariacyjnego jest znajdowanie ekstremalnych wartości funkcjonałów o postaci całek oznaczonych, reprezentujących określone wielkości fizyczne takie jak czas, długość, powierzchnia, ciężar, sztywność itp. Zadanie to jest analogiczne do zadania rachunku różniczkowego, poszukiwania ekstremum funkcji $f(\mathbf {r} ).$ Jest ono osiągane w punkcie $\mathbf {r} _{o}$ mającym tę własność, że $f(\mathbf {r} _{o}+\delta \mathbf {r} )<f(\mathbf {r} _{o})$ w przypadku maksimum i $f(\mathbf {r} _{o}+\delta \mathbf {r} )>f(\mathbf {r} _{o})$ w przypadku minimum, gdzie $\delta \mathbf {r}$ jest małą wariacją zmiennej $\mathbf {r} .$

W rachunku wariacyjnym poszukujemy takiej funkcji $\mathbf {q} _{o}(\mathbf {r} ),$ dla której funkcjonał $U[\mathbf {q} ]=\int _{\Omega }F[\mathbf {q} (\mathbf {r} )]d\mathbf {r}$ ma tę własność, że $U[\mathbf {q} _{o}+\delta \mathbf {q} ]<U[\mathbf {q} _{o}]$ w przypadku maksimum i $U[\mathbf {q} _{o}+\delta \mathbf {q} ]>U[\mathbf {q} _{o}]$ w przypadku minimum, gdzie $\delta \mathbf {q}$ jest małą wariacją funkcji $\mathbf {q} (\mathbf {r} ).$

Poszukiwanie ekstremum funkcji $f(x)$(o ciągłej pochodnej) w rachunku różniczkowym wymaga rozwiązania równania $f^{'}(x)=0,$ które jest warunkiem koniecznym istnienia tego ekstremum. Podobnie w rachunku wariacyjnym poszukiwanie ekstremum funkcjonału $U[y]$ wymaga spełnienia określonego warunku koniecznego dla jego istnienia, którym okazuje się zwykle pewne równanie różniczkowe dla funkcji $y(x).$

Przykładowe zagadnienia

Najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty

Zagadnienie znalezienia najkrótszej krzywej łączącej punkty w przestrzeni jest bardzo proste, jeśli wiemy, że będzie to linia prosta. W ogólności jednak, w zależności od metryki przestrzeni taka krzywa może mieć inną postać. Dowód tego faktu opiera się właśnie na rachunku wariacyjnym, ponieważ długość krzywej dana jest pewną całką.

W przypadku płaszczyzny euklidesowej ($\mathbb {R} ^{2}$ z metryką euklidesową), krzywa łącząca punkty $A$ i $B$ dana jest funkcją $y(x)\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,$ taką, że $A=(0,y_{0})$ i $B=(1,y_{1}),$ gdzie $y_{i}=y(i).$

Długość elementu krzywej ma postać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa)

$\Delta l={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}$ gdzie $\Delta x,\Delta y$ to małe zmiany współrzędnych.

Wtedy długość całej krzywej dana jest całką:

$l=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}dx.$

Metodami rachunku wariacyjnego możemy wyznaczyć krzywą minimalizującą funkcjonał dany tą całką. W tym przypadku krzywa ta dana jest równaniem:

$y=(y_{1}-y_{0})x+y_{0}.$

Najkrótszy czas przejazdu

Pomiędzy miejscowościami $A(x_{1},y_{1})$ i $B(x_{2},y_{2})$ porusza się pojazd w terenie o tak zróżnicowanej nawierzchni, że w danym jej punkcie $P(x,y)$ musi zachować prędkość o wartości $v(x,y).$ Zakładając, że element trasy $ds$ pojazd przebywa w czasie $dt=ds/v,$ możemy czas $T$ przejazdu z A do B po trasie $y(x)$ obliczyć za pomocą całki

$T=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!\!{\frac {ds}{v}}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!\!{\frac {\sqrt {1+y^{'2}}}{v(x,y)}}dx,$

której wartość zależy od wyboru trasy $y(x)$ i osiąga minimum dla trasy optymalnej $y_{o}(x).$

Zasada Fermata

Związane z szukaniem geodezyjnej jest szukanie drogi promienia światła. Jeśli współczynnik załamania światła w ośrodku jest stały, to światło biegnie po liniach prostych, ale załamuje się przy zmianach współczynnika załamania. Ogólnie, zgodnie z zasadą Fermata, światło porusza się po krzywej $y(x),$ dla której czas biegu promienia jest najkrótszy.

Czas, w którym światło pokonuje drogę $ds$ wynosi $dt={\frac {ds}{v}}={\frac {1}{c}}n\;ds,$ gdzie $v$ jest prędkością światła w ośrodku, $c$ to prędkość światła w próżni, a $n$ to bezwzględny współczynnik załamania światła.

Wobec tego funkcjonał, który chcemy minimalizować ma postać:

$\int \limits _{A}^{B}n\;ds.$

W przypadku dwuwymiarowym otrzymujemy:

$\int \limits _{0}^{1}n(x,y){\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}\;dx,$

gdzie $y(x)$ to krzywa, po której porusza się promień, taka, że $A=(0,y(0))$ i $B=(1,y(1)).$

Metody rachunku wariacyjnego

Równania Eulera-Lagrange’a

Są to podstawowe równania rachunku wariacyjnego, służące do znajdowania ekstremów funkcjonałów danych całką. Rozwiązaniami równań E-L są funkcje, dla których całka przyjmuje wartości ekstremalne.

Jeśli funkcjonał ma postać

$S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(x(t),{\dot {x}}(t),t)\;dt,$

to równania E-L mają postać

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0,$

gdzie $x$ może być liczbą rzeczywistą albo wektorem – w drugim przypadku dostajemy układ równań

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}=0,$

gdzie $x_{i}$ jest $i$-tą współrzędną wektora $x.$

Warto wspomnieć, że procedury rozwiązywania zagadnień wariacyjnych prowadzą często do równań różniczkowych cząstkowych, które w ogólności są bardzo trudne do rozwiązania. Zadanie komplikuje fakt, że teoria równań różniczkowych zajmuje się poszukiwaniem rozwiązań w otoczeniu danego punktu, natomiast w rachunku wariacyjnym interesuje nas rozwiązanie na danym obszarze.

Bibliografia

• John R. Taylor: Mechanika klasyczna. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 212–232. ISBN 978-83-01-14674-0.
• Frederick W. Byron, Robert W. Fuller: Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej. T. 1. Warszawa: PWN, 1975, s. 45–53.
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Calculus of Variations, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01].
• Variational calculus (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].