Relacja spójna

Relacja spójna, relacja liniowa – typ relacji dwuargumentowej na jednym zbiorze definiowany dwojako – w sensie szerokim i wąskim; oba z nich dotyczą wiązania każdej pary elementów zbioru. Formalnie:

• relacja $\varrho \subset X\times X$ jest spójna, jeśli zachodzi alternatywa:

$\forall x,y\in X:\ (x,y)\in \varrho \,\lor \,(y,x)\in \varrho \,\lor x=y.$

Oznacza to, że dla każdych dwóch różnych elementów $x,y\in X$ zachodzi $x\varrho y$ lub $y\varrho x.$ Inny zapis:

$x\neq y\Rightarrow x\varrho y\lor y\varrho x.$

• Niektóre źródła podają definicję mocniejszą (węższą):

$\forall x,y\in X:(x,y)\in \varrho \,\lor \,(y,x)\in \varrho .$

Pociąga ona za sobą zwrotność.

Przez spójność definiuje się porządek liniowy.

Przykłady

Relacje spójne w sensie szerokim

• Każda relacja pełna.

• Relacja pusta na zbiorze pustym.

• Relacja $\leqslant$ na zbiorze liczb naturalnych. Jeśli weźmie się dowolne dwie liczby naturalne, to zawsze jedna z nich jest niewiększa od drugiej. Relacja ta spełnia też węższą definicję.

• Relacja $<$ na zbiorze liczb naturalnych spełnia tylko szerszą definicję.

Relacje niespójne

• Relacja pusta na zbiorze niepustym.

• Podzielność na zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Na przykład żadna para różnych liczb pierwszych nie spełnia takiej relacji.

Bibliografia

• Wacław Leksiński, Ireneusz Nabiałek, Wojciech Żakowski: Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania. Wyd. 5. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1992, seria: Podręczniki akademickie. Elektronika, informatyka, telekomunikacja. ISBN 83-204-1892-5.
• Barbara Stanosz: Ćwiczenia z logiki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012. ISBN 978-83-01-14428-9.