Rozkład logarytmicznie normalny

Rozkład logarytmicznie normalny (albo logarytmiczno-normalny, log-normalny) – ciągły rozkład prawdopodobieństwa dodatniej zmiennej losowej, której logarytm ma rozkład normalny.

Rozkład logarytmicznie normalny

Gęstość prawdopodobieństwa µ=0
Dystrybuanta µ=0
Parametry	$\sigma >0$ $0\leq \mu <\infty$
Nośnik	$(0,+\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\cdot \mathbf {1} _{(0,\infty )}$
Dystrybuanta	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]$
Wartość oczekiwana (średnia)	$e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$
Mediana	$e^{\mu }$
Moda	$e^{\mu -\sigma ^{2}}$
Wariancja	$(e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}$
Współczynnik skośności	$(e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}$
Kurtoza	${\frac {e^{6\sigma ^{2}}-4e^{3\sigma ^{2}}+6e^{\sigma ^{2}}-3}{e^{4\mu +2\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1)^{4}}}$
Entropia	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$
Funkcja tworząca momenty	Nie istnieje funkcja generująca momenty, jednak wszystkie momenty istnieją i są dane wzorem: $\mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}$
Odkrywca	John Henry Gaddum (1945)

Z uwagi na to, że wiele zmiennych naturalnie pojawiających się zastosowaniach jest nieujemnych (rozmiar organizmu, wielkość opadów deszczu w meteorologii, przychód w ekonomii), rozkład logarytmicznie normalny znajduje zastosowanie w statystyce. Andriej Kołmogorow wyznaczył rozkład logarytmicznie normalny jako granicę procesu podziału cząsteczki na dwie kolejne o losowych wielkościach

Definicja

Niech $X$ będzie zmienną losową przyjmująca wartości dodatnie. Zmienna ta ma rozkład logarytmicznie normalny z parametrami $\mu$ i $\sigma ^{2},$ gdy zmienna losowa $Y=\ln X$ ma rozkład normalny z parametrami $\mu$ i $\sigma ^{2}.$ Symbolicznie:

$X\sim \Lambda (\mu ,\sigma ^{2}).$

Funkcja gęstości zmiennej o rozkładzie $\Delta (\mu ,\sigma ^{2})$ wyraża się wzorem

$f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{array}}\right.$

Bibliografia

• Edwin L. Crow, Kunio Shimizu: Lognormal distributions. Theory and applications. New York: M. Dekker, 1988, seria: Statistics, textbooks and monographs, 88. ISBN 978-0-8247-7803-3. OCLC 949673344. (ang.).