Teoria układów dynamicznych
Teoria układów dynamicznych – dziedzina matematyki zajmująca się układami dynamicznymi[1]. Najogólniej mówiąc, jest to nauka o zbiorach, na których możemy zdefiniować pewne przekształcenie. Znajduje ona liczne zastosowania, zarówno w naukach stosowanych jak i w matematyce teoretycznej.
Poddziały edytuj
Teoria chaosu edytuj
Teoria chaosu opisuje układy dynamiczne, które są szczególnie wrażliwe na warunki początkowe (potocznie bywa to nazywane efektem motyla). Pomimo że jest to w pełni chaos deterministyczny, tzn. określony jednoznacznie przez warunki początkowe, układy chaotyczne bywają na tyle skomplikowane, że dokładne ustalenie ich zachowania okazuje się być praktycznie niemożliwe[2].
Dynamika topologiczna edytuj
Dynamika topologiczna zajmuje się topologicznymi układami dynamicznymi.
Dynamika symboliczna edytuj
Dynamika symboliczna zajmuje się topologicznymi układami składającymi się z nieskończonych ciągów (odpowiadających stanom układu) i przekształcenia będącego przesunięciem (translacją).[3]
Teoria ergodyczna edytuj
Teoria ergodyczna zajmuje się własnościami statystycznymi układów dynamicznych, przede wszystkim - układów ergodycznych[4]. Formalnie, zakładamy zwykle, że przekształcenia w układzie zachowują miarę. Upraszczając. wielkość danego podzbioru całego układu jest "taka sama" przed i po działaniu przekształcenia. Intuicję stojącą za pojęciem ergodyczności można wyrazić tym, że przekształcanie układu dobrze "miesza" jego elementy.
Zastosowania edytuj
Teoria liczb edytuj
Jednym z najbardziej znanych wyników z teorii liczb udowodnionych z wykorzystaniem układów dynamicznych jest twierdzenie Van der Waerdena. W dowodzie wykorzystuje się twierdzenie Poincarégo o rekurencji. Pierwotny dowód był o wiele trudniejszy i korzystał ze skomplikowanych tożsamości kombinatorycznych[5].
Przypisy edytuj
- ↑ Luis Barreira, Claudia Valls, Dynamical Systems, „Universitext”, 2013, DOI: 10.1007/978-1-4471-4835-7, ISSN 0172-5939.
- ↑ Stephen H. Kellert, In the wake of chaos: unpredictable order in dynamical systems, wyd. Paperback ed, Science and its conceptual foundations series, Chicago: Univ. of Chicago Press, 1994, ISBN 978-0-226-42976-2 [dostęp 2023-12-08].
- ↑ Bailin Hao, Elementary symbolic dynamics and chaos in dissipative systems, Singapore: World Scientific Publ, 1989, ISBN 978-9971-5-0682-7 [dostęp 2023-12-08].
- ↑ Peter Walters, An Introduction to Ergodic Theory, „Graduate Texts in Mathematics”, 1982, DOI: 10.1007/978-1-4612-5775-2, ISSN 0072-5285.
- ↑ Manfred Einsiedler, Thomas Ward, Ergodic Theory, 2011, DOI: 10.1007/978-0-85729-021-2.
Linki zewnętrzne edytuj
- układy dynamiczne, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-11-09].
- ergodyczna teoria, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-11-09].