Translacja (matematyka)

Translacja, przesunięcie równoległe[1]przekształcenie prostej, płaszczyzny lub dowolnej przestrzeni afinicznej, które można intuicyjnie rozumieć jako równoległe przesunięcie wszystkich punktów dziedziny bez jej deformacji i obracania.

Translacja przesuwa każdy punkt figury bądź przestrzeni o tę samą odległość w ustalonym kierunku

Definicja edytuj

Niech   będzie dowolnym wektorem (swobodnym) pewnej przestrzeni afinicznej  

Translacją   nazywamy przekształcenie dane wzorem:

 

Wektor   nazywamy wektorem translacji.

Niekiedy także obraz figury   w przekształceniu   nazywa się translacją figury   o wektor   i oznacza  

Własności edytuj

Jeśli   to translacja   jest przekształceniem tożsamościowym; jeśli zaś   to   nie ma żadnego punktu stałego.

Translacje wraz ze składaniem tworzą grupę izomorficzną z grupą addytywną przestrzeni liniowej stowarzyszonej z daną przestrzenią afiniczną. Jest więc izomorficzna z grupą wektorów swobodnych.

Translacja w przestrzeniach euklidesowych[2] jest izometrią, nie zmienia zatem kształtu figury ani żadnej relacji wewnętrznej między jej elementami, natomiast zmienia jej położenie w stosunku do pozostałych (nie podlegających translacji) figur.

Ważną własnością grupy translacji w przestrzeniach euklidesowych jest to, że dla dowolnej translacji   i dowolnej izometrii   przekształcenie   też jest translacją. W języku teorii grup oznacza to, że grupa translacji jest podgrupą normalną grupy izometrii. Ponadto Iloraz grupy izometrii przez podgrupę translacji jest izomorficzny z grupą ortogonalną.

Niezmiennikiem definiującym grupę translacji jest długość i zwrot wektora.

Wśród wielu niezmienników izometrii najważniejszymi niezmiennikami translacji są:

Każda translacja prostej jest złożeniem dwóch symetrii punktowych, translacja na płaszczyźnie jest złożeniem pewnych dwóch symetrii osiowych o równoległych osiach, analogicznie translacja w przestrzeni jest złożeniem dwóch symetrii płaszczyznowych o równoległych płaszczyznach.

Każda translacja jest złożeniem pewnych dwóch symetrii środkowych (w przestrzeniach dowolnego wymiaru).

Przypisy edytuj

  1. przesunięcie równoległe, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-13].
  2. To jest w przestrzeniach afinicznych stowarzyszonych z przestrzenią liniową wyposażoną w iloczyn skalarny.