Twierdzenie Mihăilescu

Twierdzenie Mihăilescu (wcześniej hipoteza Catalana) – twierdzenie teorii liczb udowodnione przez Predę Mihăilescu^[1] w 2002, będące wcześniej hipotezą postawioną w 1844 przez Eugène’a Charles’a Catalana.

Twierdzenie edytuj

Równanie

a^{x}-b^{y}=1,

gdzie $a,x,b,y$ są liczbami naturalnymi większymi od 1, ma tylko jedno rozwiązanie: $a=3,$ $x=2,$ $b=2,$ $y=3.$ Równanie to jest znane jako równanie Catalana^[2]^[3].

Innymi słowy, jedyną parą następujących po sobie potęg liczb naturalnych (o wykładnikach naturalnych większych od 1) jest $8=2^{3}$ i $9=3^{2}.$

Przypadek szczególny edytuj

Jedynym rozwiązaniem równania postaci $2^{a}=(2k+1)^{b}\pm 1,$ gdzie $a>1,\ b>1,\ k>0$ jest $k=1,\ a=3,\ b=2$ (np. $2^{3}=3^{2}-1$ )^[4].

Przypisy edytuj

↑ Preda Mihăilescu: Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan’s Conjecture, J. reine angew. Math. 572 (2004), s. 167–195.
↑ P.H. Koymans, The Catalan equation, sciencedirect.com, kwiecień 2017 [dostęp 2024-04-03].
↑ Franz Lemmermeyer, Catalan’s Equation, link.springer.com, 19 września 2021 [dostęp 2024-04-03].
↑ Catalan’s Conjecture: 3^2, 2^3 are the only powers that differ by 1 [online], 2000clicks.com [dostęp 2017-11-27] [zarchiwizowane z adresu 2018-04-14] .

Linki zewnętrzne edytuj

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Catalan's Diophantine Problem, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-04-03].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Catalan's Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-18].

[1] Preda Mihăilescu: Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan’s Conjecture, J. reine angew. Math. 572 (2004), s. 167–195.

[2] P.H. Koymans, The Catalan equation, sciencedirect.com, kwiecień 2017 [dostęp 2024-04-03].

[3] Franz Lemmermeyer, Catalan’s Equation, link.springer.com, 19 września 2021 [dostęp 2024-04-03].

[4] Catalan’s Conjecture: 3^2, 2^3 are the only powers that differ by 1 [online], 2000clicks.com [dostęp 2017-11-27] [zarchiwizowane z adresu 2018-04-14] .

[1]

[2]

[3]

[4]