Twierdzenie o wiriale

Twierdzenie (Clausiusa) o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale $V=ar^{n},$ średnie energie spełniają zależność

$2\langle {E_{\mathrm {k} }}\rangle =n\langle {E_{\mathrm {p} }}\rangle .$

Na przykład dla oscylatora harmonicznego $V=kr^{2},$ a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale $\langle E_{\mathrm {k} }\rangle =\langle E_{\mathrm {p} }\rangle .$ Dla planety w polu grawitacyjnym $V=-k/r,$ wobec tego

$2\langle E_{\mathrm {k} }\rangle =-\langle E_{\mathrm {p} }\rangle .$

Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często obliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk – gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.

Twierdzenie o wiriale w mechanice kwantowej

Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je wyprowadzić, korzystając z własności komutatorów oraz twierdzenia Ehrenfesta:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle A\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\langle [A,H]\rangle .$

Podstawimy

$A=xp,$

gdzie:

$p$ – operator pędu,

$x$ – operator położenia,

oraz

$H=T+V(x),$

gdzie:

$T$ – operator energii kinetycznej,

$V$ – energia potencjalna.

Obliczmy $[xp,T]{:}$

$[xp,T]=[x,T]p+x[p,T]=[x,T]p={\frac {1}{2m}}[x,p^{2}]p={\frac {1}{2m}}{\big (}[x,p]p+p[x,p]{\big )}p={\frac {2\mathrm {i} \hbar }{2m}}p^{2}=2\mathrm {i} \hbar T.$

Obliczmy $[xp,V(x)]{:}$

${\big [}xp,V(x){\big ]}={\big [}x,V(x){\big ]}p+x{\big [}p,V(x){\big ]}=x{\big [}p,V(x){\big ]}=-\mathrm {i} \hbar x\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}},V(x)\right]=-\mathrm {i} \hbar x\left({\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}+V(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-V(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)=-\mathrm {i} \hbar x{\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}.$

Ostatecznie mamy:

$[xp,H]=[xp,T]+{\big [}xp,V(x){\big ]}=\mathrm {i} \hbar \left(2T-x{\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}\right).$

Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta, dostajemy

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle xp\rangle =2\langle T\rangle -\left\langle x{\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}\right\rangle .$

Średnie $\langle \dots \rangle$ w powyższym równaniu należy obliczać dla stanu własnego $\psi$ hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle xp\rangle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle \psi |xp|\psi \rangle =\langle {\dot {\psi }}|xp|\psi \rangle +\langle \psi |xp|{\dot {\psi }}\rangle ={\frac {-1}{\mathrm {i} \hbar }}\langle \psi |Exp|\psi \rangle +{\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\langle \psi |xpE|\psi \rangle =0,$

gdzie:

$E$ – energia całkowita w tym stanie.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$2\langle T\rangle =\left\langle x{\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}\right\rangle .$

Przyjmując $V(x)=ax^{n},$ dostajemy twierdzenie o wiriale.

Zobacz też

• mechanizm Kelvina-Helmholtza