Układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich, prostokątny układ współrzędnych[potrzebny przypis] – prostoliniowy układ współrzędnych, którego osie są parami prostopadłe[1].

Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Pewne cechy takiego układu mają szachownica znana od starożytności oraz pochodzące z XVI wieku odwzorowanie Mercatora. W 1636 roku prostokątnego układu współrzędnych używał Pierre de Fermat, jednak nie opublikował tych prac, przez co pozostały nieznane. Kartezjusz (fr. René Descartes) opracował to niezależnie i opublikował w 1637 roku w traktacie La Géométrie[2] – stąd nazwa; francuski przymiotnik to cartesien. Wywołało to spór o pierwszeństwo z Fermatem, jednak zakończył się on pogodzeniem obu uczonych i wzajemnym uznaniem zasług[3].

Definicja edytuj

Układem współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni n-wymiarowej nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

  • punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, oznaczany literą   (ang. origin – źródło, początek),
  • ciąg n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
    •   (pierwsza oś, zwana osią odciętych),
    •   (druga, zwana osią rzędnych).

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza wymiar przestrzeni.

Wykresy funkcji edytuj

Osobny artykuł: Wykres funkcji.

Za pomocą układu współrzędnych kartezjańskich można tworzyć wykresy funkcji jednoargumentowych postaci:

 

np.

 

przedstawia funkcję liniową. Podstawiając pod   wartości, otrzymujemy drugą współrzędną  

Współrzędne edytuj

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu  

  1. Tworzymy rzut prostokątny punktu   na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez   i prostopadłą do k-tej osi, a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
  2. Współrzędna tego punktu przecięcia na k-tej osi jest k-tą współrzędną punktu  

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

  •   – historyczna nazwa odcięta, łac. abscissa,
  •   – historyczna nazwa rzędna, łac. ordinata,
  •   – historyczna nazwa kota, łac. applicata.

Wzory w 2-wymiarowym układzie współrzędnych edytuj

  • Współrzędne środka odcinka AB oznaczonego literą C, kiedy    
 
  • odległość punktu A od środka układu współrzędnych dla  
 
  • Długość odcinka AB dla    
  lub  

Ćwiartki i oktanty edytuj

 
Cztery ćwiartki układu współrzędnych kartezjańskich

Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery przystające, nieograniczone zbiory nazywane ćwiartkami; brzeg każdej z nich składa się z dwóch półosi[a]. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza symbolami rzymskimi: I (+,+), II (–,+), III (–,–) oraz IV (+,–), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Przy zwyczajowym rysowaniu osi, numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem części zwanych oktantami[4], zgodnie z ośmioma sposobami ułożenia dwóch znaków +,– na trzech miejscach. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie, nazywany bywa pierwszym, jednak nie ma ogólnie przyjętej numeracji pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywane bywa ortantem[5].

Skrętność przestrzeni trójwymiarowej[6] edytuj

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi   do   to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi   (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.

Zobacz też edytuj

Uwagi edytuj

  1. Nie jest to jednak podział na podzbiory rozłączne; takiego podziału na cztery części przystające nie da się dokonać, bowiem początek układu musiałby należeć do jednej tylko części.

Przypisy edytuj

  1. współrzędne kartezjańskie, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-11-23].
  2. Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences: plus la dioptrique, les météores, et la géométrie, qui sont des essais de cete méthode. Lejda: Jan Maire, 1637.
  3. Neil Schlager, Josh Lauer (red.), Science and Its Times. Understanding the Social Significance of Scientific Discovery, t. III, 1450–1699, Farmington Hills, MI: Gale Group, 2000, s. 242.
  4. oktant, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-03].
  5. Smoluk 2017 ↓, s. 234.
  6. Używany też bywa termin: orientacja przestrzeni (K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, PWN, Warszawa 1964, s. 58).

Bibliografia edytuj