Wektor Riemanna-Silbersteina

Wektor Riemanna-Silbersteina – w elektrodynamice klasycznej, wektor zbudowany z wektorów pola elektrycznego i magnetycznego.

W odróżnieniu od wektora Poyntinga ma znaczenie fizyczne tylko w kwantowej interpretacji równań Maxwella jako funkcja falowa fotonu. Po pomnożeniu równań Maxwella stronami przez stałą Diraca, pozwala interpretować ich część dynamiczną w zwięzłej formie jako równanie Schrödingera dla fotonu.

Wyraża się wzorem:

$\mathbf {F} =\mathbf {E} +i\mathbf {B} .$

Równanie Schrödingera dla fotonu w próżni ma postać

$i\hbar \partial _{t}\mathbf {F} =c\left(\mathbf {S} \cdot {\tfrac {\hbar }{i}}\nabla \right)\mathbf {F} ,$

gdzie $\mathbf {S}$ jest wektorem z macierzy spinu o długości 1.

W odróżnieniu do funkcji falowej elektronu, funkcja falowa fotonu jest znormalizowana w sposób egzotyczny z jądrem całkowym, tzn.

$\|\mathbf {\mathbf {F} } \|={\frac {1}{\hbar c}}\int {\frac {\mathbf {F} ^{*}(\mathrm {x} )\cdot \mathbf {F} (\mathrm {x} ')}{|\mathrm {x} -\mathrm {x} '|^{2}}}\mathrm {dx} ^{3}\mathrm {dx} '^{3}=1.$

Pozostałe dwa równania Maxwella stają się dodatkowymi więzami, tzn.

$\nabla \cdot \mathbf {F} =0$

i są spełnione automatycznie jeśli tylko są spełnione w chwili początkowej $t=0,$ tzn.

$\mathbf {F} (0)=\nabla \cdot \mathbf {G} ,$

gdzie $\mathbf {G}$ jest jakimkolwiek zespolonym polem wektorowym o nieznikającej rotacji, czyli potencjałem wektorowym dla wektora Riemanna-Silbersteina.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga dla fotonu

Użycie wektora Riemanna-Silbersteina jako funkcji falowej fotonu pokazuje, że fotony są cząstkami „dużo bardziej kwantowymi” niż elektrony i okazuje się, że są one w dobrym przybliżeniu polami spinorowymi normalnie unormowanymi do 3 ze składowymi unormowanymi do 1, tzn.

$\int |F_{x}(\mathrm {x} ')|^{2}\mathrm {dx} '^{3}=\int |F_{y}(\mathrm {x} ')|^{2}\mathrm {dx} '^{3}=\int |F_{z}(\mathrm {x} ')|^{2}\mathrm {dx} '^{3}=1,$

gdzie nowe $F_{i}$ są wynikiem podzielenia wektora Riemanna-Silbersteina przez pierwiastek z jakiejś energii podstawowej normalizującej gęstość energii do gęstości prawdopodobieństwa.

Zasada nieoznaczoności dla elektronu w trzech wymiarach jest dana przez

$\langle \mathbf {r} \rangle \langle \mathbf {p} \rangle \geqslant {\tfrac {3}{2}}\hbar .$

Z definicji normy dla dużych wartości $|\mathrm {x} -\mathrm {x} '|$ jądro podcałkowe obniża wartość wyrażenia tak, że normalna całka normalizacyjna jak dla elektronu jest z reguły większa niż 1. Załóżmy, że fotony są polem spinorowym unormowanym tak, że każda z jego składowych unormowana jest do 1, tzn. jest normalną skalarną funkcja falowa.

Z zasady nieoznaczoności dla cząstki opisanej funkcją skalarną zachodzi

$\left(\langle F_{x}|\mathbf {r} ^{2}|F_{x}\rangle +\langle F_{y}|\mathbf {r} ^{2}|F_{y}\rangle +\langle F_{x}|\mathbf {r} ^{2}|F_{x}\rangle \right)\left(\langle F_{x}|\mathbf {p} ^{2}|F_{x}\rangle +\langle F_{y}|\mathbf {p} ^{2}|F_{y}\rangle +\langle F_{z}|\mathbf {p} ^{2}|F_{z}\rangle \right)\geqslant \kappa .$

W celu oszacowania minimum prawej strony uzyskuje się bezpośrednio, iż

$\langle F_{x}|\mathbf {r} ^{2}|F_{x}\rangle \langle F_{x}|\mathbf {p} ^{2}|F_{x}\rangle +\langle F_{y}|\mathbf {r} ^{2}|F_{y}\rangle \langle F_{y}|\mathbf {p} ^{2}|F_{y}\rangle +\langle F_{z}|\mathbf {r} ^{2}|F_{z}\rangle \langle F_{z}|\mathbf {p} ^{2}|F_{z}\rangle \geqslant 3\cdot {\tfrac {9}{4}}\hbar ^{2}.$

By oszacować trzy człony krzyżowe typu

$\langle F_{x}|\mathbf {r} ^{2}|F_{x}\rangle \langle F_{y}|\mathbf {p} ^{2}|F_{y}\rangle +\langle F_{y}|\mathbf {r} ^{2}|F_{y}\rangle \langle F_{x}|\mathbf {p} ^{2}|F_{x}\rangle ,$

należy założyć (z zasady nieoznaczoności dla każdej składowej), że jedna część sumy jest dowolnie mała,

$\varepsilon =\langle F_{x}|\mathbf {r} ^{2}|F_{x}\rangle \langle F_{y}|\mathbf {p} ^{2}|F_{y}\rangle ,$

wtedy

$\varepsilon \langle F_{y}|\mathbf {r} ^{2}|F_{y}\rangle \langle F_{x}|\mathbf {p} ^{2}|F_{x}\rangle \geqslant \left({\tfrac {9}{4}}\hbar ^{2}\right)^{2}$

i człony krzyżowe minimalizuje się minimalizując wyrażenie

$\varepsilon +{\tfrac {1}{\varepsilon }}\left({\tfrac {9}{4}}\hbar ^{2}\right)^{2},$

skąd

$\varepsilon ={\tfrac {9}{4}}\hbar ,$

tzn.

$\langle F_{x}|\mathbf {r} ^{2}|F_{x}\rangle \langle F_{y}|\mathbf {p} ^{2}|F_{y}\rangle +\langle F_{y}|\mathbf {r} ^{2}|F_{y}\rangle \langle F_{x}|\mathbf {p} ^{2}|F_{x}\rangle =2\cdot {\tfrac {9}{4}}\hbar ^{2}.$

Zbierając razem powyższe, otrzymuje się zasadę nieoznaczoności dla fotonu

$\langle \mathbf {F} \cdot |\mathbf {r} ^{2}|\mathbf {F} ^{*}\rangle \langle \mathbf {F} \cdot |\mathbf {p} ^{2}|\mathbf {F} ^{*}\rangle \geqslant 3\cdot {\tfrac {9}{4}}+6\cdot {\tfrac {9}{4}}={\tfrac {81}{4}}\hbar ^{2}$

lub

$\langle \mathbf {F} \cdot |\mathbf {r} |\mathbf {F} \rangle \langle \mathbf {F} \cdot |\mathbf {p} |\mathbf {F} \rangle \geqslant {\tfrac {9}{2}}\hbar =4{,}5\hbar ,$

co okazuje się bliskie dokładnej wartości wyprowadzonej metodami wariacyjnymi i bez uproszczenia normy

$\langle \mathbf {r} \rangle \langle \mathbf {p} \rangle \geqslant 4\hbar .$

Fotony okazują się więc cząstkami ${\tfrac {8}{3}},$ a więc prawie 3 razy „bardziej kwantowymi” niż np. elektron.

Linki zewnętrzne

• „Polska Nagroda Nobla” z Fizyki za anomalną zasadę nieoznaczoności dla fotonu