Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.

Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.

Definicje

Niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K,$ zaś $\mathrm {T}$ oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora $x$ przestrzeni spełniony jest warunek

$\mathrm {T} x=\lambda x,$

gdzie $\lambda$ jest pewnym skalarem, to $x$ nazywa się wektorem własnym, a $\lambda$ nazywa się wartością własną przekształcenia $\mathrm {T}$.

Danej wartości własnej $\lambda$ operatora $\mathrm {T}$ odpowiada zbiór

$X_{\lambda }(T)=\{x\in X\colon Tx=\lambda x\},$

który jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $X.$ Jest ona nazywana podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej $\lambda ,$ gdyż jest ona zamknięta ze względu na działanie operatora $\mathrm {T} .$ Jej wymiar nazywa się wielokrotnością lub krotnością geometryczną wartości własnej $\lambda .$

Często zakłada się, że $K$ jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, zaś na $X$ określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że $X$ jest pewną przestrzenią Banacha, a $\mathrm {T} \colon X\to X$ jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.

Własności

• Jeżeli $\mathrm {T}$ jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta $X,$ to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
• Jeżeli $\lambda \in K$ jest wartością własną operatora $\mathrm {T} ,$ to $|\lambda |\leqslant \|\mathrm {T} \|$ (założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne).
• Liczba $\lambda \in K$ jest wartością własną operatora $\mathrm {T}$ wtedy i tylko wtedy, gdy operator $\mathrm {T} _{\lambda }=\lambda I-T$ nie jest różnowartościowy.
• Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
• Jeśli macierz $\mathbf {A}$ potraktować jako macierz przekształcenia liniowego pewnej przestrzeni liniowej $V,$ to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń.
• Jeśli suma wymiarów podprzestrzeni z powyższej własności jest równa wymiarowi $V,$ to wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tworzą bazę tej przestrzeni.

Przykłady

Przestrzenie skończenie wymiarowe

Przekształcenie liniowe $\mathrm {A}$ skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych z ustalonymi bazami można przedstawić za pomocą macierzy $\mathbf {A}$ nazywanej macierzą przekształcenia liniowego.

Endomorfizmowi $\mathrm {A}$ na skończeniewymiarowej przestrzeni $X$ odpowiada macierz kwadratowa $\mathbf {A} ,$ a jego wartości własne $w_{\mathbf {A} }(\lambda )$ są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego tej macierzy.

$w_{\mathbf {A} }(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} ),$

gdzie $\mathbf {I}$ jest macierzą jednostkową.

Mając wartości własne $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ można obliczyć odpowiadające im wektory własne $\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}$ rozwiązując równania postaci

$(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} )\cdot \mathbf {x} _{i}=0$

ze względu na wektory $\mathbf {x} _{i}.$

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora; w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, to mówi się o widmie macierzy. Jeżeli macierz $\mathbf {A}$ jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi. Transponowanie macierzy nie zmienia jej wartości własnych.

Równanie całkowe jednorodne Fredholma

Niech $X=L^{2}(a,b)$ będzie przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue’a na przedziale $(a,b)$ oraz niech $K(s,t)$ będzie funkcją całkowalną z kwadratem w zbiorze

$Q=(a,b)\times (a,b).$

Można wykazać, że odwzorowanie $\mathrm {T} \colon X\to X,$ dane wzorem

$(Tx)(s)=\int \limits _{a}^{b}K(s,t)x(t)dt,$

jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym, gdy $K(s,t)={\overline {K(t,s)}},$ to $\mathrm {T}$ jest operatorem samosprzężonym, a zatem ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.

Zobacz też

• diagonalizacja
• postać Jordana
• równanie własne
• wartość własna układu

Bibliografia

• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.brak strony w książce