Definicja rekurencyjna
edytuj
Wielomiany te spełniają zależność[1]
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_{1}(x)=x}
T
k
(
x
)
=
2
x
⋅
T
k
−
1
(
x
)
−
T
k
−
2
(
x
)
{\displaystyle T_{k}(x)=2x\cdot T_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)}
Postać jawna
edytuj
Rozwiązaniem powyższej rekurencji jest:
T
k
(
x
)
=
(
x
+
x
2
−
1
)
k
+
(
x
−
x
2
−
1
)
k
2
.
{\displaystyle T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}}{2}}.}
Parzystość wielomianów Czebyszewa
edytuj
Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa
k
{\displaystyle k}
k – nieparzysty:
T
k
(
−
x
)
=
(
−
1
)
k
T
k
(
x
)
.
{\displaystyle T_{k}(-x)=(-1)^{k}T_{k}(x).}
Postać trygonometryczna
edytuj
Dla
x
∈
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle x\in [-1;1]}
x
=
cos
t
,
{\displaystyle x=\cos \,t,}
k
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle k=0,1,2,\dots }
T
k
(
cos
t
)
=
(
cos
t
+
cos
2
t
−
1
)
k
+
(
cos
t
−
cos
2
t
−
1
)
k
2
=
(
cos
t
+
−
sin
2
t
)
k
+
(
cos
t
−
−
sin
2
t
)
k
2
=
(
cos
t
+
i
⋅
sin
t
)
k
+
(
cos
t
−
i
⋅
sin
t
)
k
2
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{k}(\cos \,t)&={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {\cos ^{2}t-1}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {\cos ^{2}t-1}})^{k}}{2}}\\&={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {-\sin ^{2}t}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {-\sin ^{2}t}})^{k}}{2}}\\&={\frac {(\cos \,t+i\cdot \sin \,t)^{k}+(\cos \,t-i\cdot \sin \,t)^{k}}{2}}\end{aligned}}}
gdzie
i
2
=
−
1.
{\displaystyle i^{2}=-1.}
Po zastosowaniu wzoru de Moivre’a na k -tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:
T
k
(
cos
t
)
=
cos
k
t
.
{\displaystyle T_{k}(\cos \,t)=\cos kt.}
Wracając do zmiennej
x
:
{\displaystyle x{:}}
t
=
arccos
x
{\displaystyle t=\arccos x}
T
k
(
x
)
=
cos
(
k
arccos
(
x
)
)
.
{\displaystyle T_{k}(x)=\cos(k\,\arccos(x)).\qquad {}}
Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża wielomian Czebyszewa
k
{\displaystyle k}
funkcję trygonometryczną
cos
{\displaystyle \cos }
arccos
.
{\displaystyle \arccos .}
x
{\displaystyle x}
T
k
(
x
)
=
{
cos
(
k
arccos
x
)
,
x
∈
[
−
1
,
1
]
cosh
(
k
arcosh
(
x
)
)
,
x
⩾
1
(
−
1
)
k
cosh
(
k
arcosh
(
−
x
)
)
,
x
⩽
−
1
{\displaystyle T_{k}(x)={\begin{cases}\cos(k\arccos x),&x\in [-1,1]\\[2px]\cosh(k\,\operatorname {arcosh} (x)),&x\geqslant 1\\[2px](-1)^{k}\cosh(k\,\operatorname {arcosh} (-x)),&x\leqslant -1\end{cases}}}
Można wykazać, że
cos
(
k
t
)
=
e
i
k
t
+
e
−
i
k
t
2
=
(
e
i
t
)
k
+
(
e
i
t
)
−
k
2
,
{\displaystyle \cos(k\,t)={\frac {e^{ik\,t}+e^{-ik\,t}}{2}}={\frac {(e^{i\,t})^{k}+(e^{i\,t})^{-k}}{2}},}
ponieważ zachodzi
e
i
t
=
cos
(
t
)
+
i
sin
(
t
)
{\displaystyle e^{i\,t}=\cos(t)+i\sin(t)}
oraz
sin
(
t
)
=
1
−
cos
2
(
t
)
{\displaystyle \sin(t)={\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}}
zachodzi
e
i
t
=
cos
(
t
)
+
cos
2
(
t
)
−
1
,
{\displaystyle e^{i\,t}=\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}},}
a stąd
cos
(
k
t
)
=
(
cos
(
t
)
+
cos
2
(
t
)
−
1
)
k
+
(
cos
(
t
)
+
cos
2
(
t
)
−
1
)
−
k
2
{\displaystyle \cos(k\,t)={\frac {(\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}})^{k}+(\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}})^{-k}}{2}}}
podstawiają za
cos
(
t
)
{\displaystyle \cos(t)}
x , otrzymuje się
T
k
(
x
)
=
(
x
+
x
2
−
1
)
k
+
(
x
+
x
2
−
1
)
−
k
2
.
{\displaystyle T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{-k}}{2}}.}
Zera wielomianów Czebyszewa
edytuj
Osobny artykuł: Węzły Czebyszewa . Wielomian Czebyszewa
T
k
(
x
)
{\displaystyle T_{k}(x)}
k zer rzeczywistych należących do
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle [-1;1]}
x
j
=
cos
(
2
j
−
1
2
k
π
)
,
j
=
1
,
2
,
…
,
k
.
{\displaystyle x_{j}=\cos \left({\frac {2j-1}{2k}}\,\pi \right),\quad j=1,2,\dots ,k.}
Ortogonalność
edytuj
Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni
L
p
2
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle L_{p}^{2}[-1,1]}
w
(
x
)
=
1
1
−
x
2
:
{\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{:}}
∫
−
1
1
T
k
(
x
)
T
j
(
x
)
d
x
1
−
x
2
=
{
0
:
k
≠
j
π
:
k
=
j
=
0
π
/
2
:
k
=
j
≠
0
{\displaystyle {}\,\int \limits _{-1}^{1}T_{k}(x)T_{j}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{aligned}&0&&:k\neq j\\&\pi &&:k=j=0\\&\pi /2&&:k=j\neq 0\end{aligned}}\right.}
⟨
T
k
,
T
j
⟩
=
∫
−
1
1
T
k
(
x
)
⋅
T
j
(
x
)
1
−
x
2
d
x
=
∫
−
1
1
cos
(
k
⋅
arccos
(
x
)
)
⋅
cos
(
j
⋅
arccos
(
x
)
)
1
−
x
2
d
x
.
{\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{-1}^{1}{\frac {T_{k}(x)\cdot T_{j}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\int \limits _{-1}^{1}{\frac {\cos(k\cdot \arccos(x))\cdot \cos(j\cdot \arccos(x))}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx.}
Zastosujmy podstawienie
t
=
arccos
(
x
)
.
{\displaystyle t=\arccos(x).}
d
t
d
x
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
x
=
cos
(
t
)
.
{\displaystyle x=\cos(t).}
⟨
T
k
,
T
j
⟩
=
−
∫
π
0
cos
(
k
⋅
t
)
⋅
cos
(
j
⋅
t
)
1
−
cos
2
(
t
)
1
−
cos
2
(
t
)
d
t
=
∫
0
π
cos
(
k
⋅
t
)
⋅
cos
(
j
⋅
t
)
d
t
.
{\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =-\int \limits _{\pi }^{0}{\frac {\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)}{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}}{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}dt=\int \limits _{0}^{\pi }\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)dt.}
Korzystając ze wzoru trygonometrycznego
cos
(
α
)
⋅
cos
(
β
)
=
1
2
[
cos
(
α
−
β
)
+
cos
(
α
+
β
)
]
{\displaystyle \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )]}
⟨
T
k
,
T
j
⟩
=
∫
0
π
1
2
[
cos
(
(
k
−
j
)
t
)
+
cos
(
(
k
+
j
)
t
)
]
d
t
=
1
2
∫
0
π
cos
(
(
k
−
j
)
t
)
d
t
+
1
2
∫
0
π
cos
(
(
k
+
j
)
t
)
d
t
.
{\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}[\cos((k-j)t)+\cos((k+j)t)]dt={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt.}
Załóżmy w tym momencie, że
k
≠
j
{\displaystyle k\neq j}
całki osobno.
∫
0
π
cos
(
(
k
−
j
)
t
)
d
t
=
1
k
−
j
∫
0
(
k
−
j
)
π
cos
(
t
)
d
t
=
1
k
−
j
[
sin
(
t
)
]
0
(
k
−
j
)
π
=
0.
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt={\frac {1}{k-j}}\int \limits _{0}^{(k-j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k-j}}[\sin(t)]_{0}^{(k-j)\pi }=0.}
Analogicznie:
∫
0
π
cos
(
(
k
+
j
)
t
)
d
t
=
1
k
+
j
∫
0
(
k
+
j
)
π
cos
(
t
)
d
t
=
1
k
+
j
[
sin
(
t
)
]
0
(
k
+
j
)
π
=
0.
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt={\frac {1}{k+j}}\int \limits _{0}^{(k+j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k+j}}[\sin(t)]_{0}^{(k+j)\pi }=0.}
Zatem:
⟨
T
k
,
T
j
⟩
=
0.
{\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =0.}
Widać, że założenie, iż
k
≠
j
{\displaystyle k\neq j}
mianowniku .
Powyższe równania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe .
Teraz rozważmy przypadek, kiedy
j
=
k
≠
0
{\displaystyle j=k\neq 0}
⟨
T
k
,
T
k
⟩
=
1
2
∫
0
π
[
cos
(
(
k
−
k
)
t
)
+
cos
(
(
k
+
k
)
t
)
]
d
t
=
1
2
∫
0
π
[
1
+
cos
(
2
k
t
)
]
d
t
=
π
2
+
∫
0
π
cos
(
2
k
t
)
d
t
=
π
2
+
1
2
k
∫
0
2
k
π
cos
(
t
)
d
t
=
π
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle T_{k},T_{k}\rangle &={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[\cos((k-k)t)+\cos((k+k)t)]dt\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[1+\cos(2kt)]dt\\&={\frac {\pi }{2}}+\int \limits _{0}^{\pi }\cos(2kt)dt\\&={\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2k}}\int \limits _{0}^{2k\pi }\cos(t)dt\\&={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
W przypadku
k
=
j
=
0
{\displaystyle k=j=0}
⟨
T
0
,
T
0
⟩
=
π
{\displaystyle \langle T_{0},T_{0}\rangle =\pi }
Przykłady wielomianów Czebyszewa
edytuj
Wielomiany Czebyszewa od T0 do T8 Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_{1}(x)=x}
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
{\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1}
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
{\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x}
T
4
(
x
)
=
8
x
4
−
8
x
2
+
1
{\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1}
T
5
(
x
)
=
16
x
5
−
20
x
3
+
5
x
{\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x}
T
6
(
x
)
=
32
x
6
−
48
x
4
+
18
x
2
−
1
{\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1}
T
7
(
x
)
=
64
x
7
−
112
x
5
+
56
x
3
−
7
x
{\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x}
T
8
(
x
)
=
128
x
8
−
256
x
6
+
160
x
4
−
32
x
2
+
1
{\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1}
T
9
(
x
)
=
256
x
9
−
576
x
7
+
432
x
5
−
120
x
3
+
9
x
.
{\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.}
Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa
1
2
k
−
1
T
k
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)}
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle [-1;1]}
k, o współczynniku wiodącym równym jeden. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:
w
k
(
x
)
=
x
k
+
a
k
−
1
x
k
−
1
+
…
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle w_{k}(x)=x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}
zachodzi nierówność:
max
x
∈
[
−
1
;
1
]
|
w
k
(
x
)
|
⩾
max
x
∈
[
−
1
;
1
]
|
1
2
k
−
1
T
k
(
x
)
|
.
{\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant \max _{x\in [-1;1]}|{\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)|.}
Wiedząc, że dla każdego
x
∈
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle x\in [-1;1]}
T
k
(
x
)
{\displaystyle T_{k}(x)}
[
−
1
;
1
]
,
{\displaystyle [-1;1],}
max
x
∈
[
−
1
;
1
]
|
w
k
(
x
)
|
⩾
1
2
k
−
1
.
{\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant {\frac {1}{2^{k-1}}}.}
Zastosowania
edytuj
Przy interpolacji wielomianowej często zamiast równoodległych węzłów , używa się węzłów Czebyszewa , leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego efektu Rungego , czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian, zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom .
![{\displaystyle x\in [-1;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d368f8b39a97c9dcd8e6e8356a435f15feaed8)
![{\displaystyle T_{k}(x)={\begin{cases}\cos(k\arccos x),&x\in [-1,1]\\[2px]\cosh(k\,\operatorname {arcosh} (x)),&x\geqslant 1\\[2px](-1)^{k}\cosh(k\,\operatorname {arcosh} (-x)),&x\leqslant -1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df0c9e7f194e1896cb92513d997497ccf0abb13)
![{\displaystyle [-1;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8bc389ca678dffbedd0d41ca0fecb9806c9b7cf)
![{\displaystyle L_{p}^{2}[-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8b45f5e413181b47783fc04c729bae8c1a0e38)
![{\displaystyle \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9977c5ed3679796c28489c70c7222555eb31d603)
![{\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}[\cos((k-j)t)+\cos((k+j)t)]dt={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9290196c624748beb26d7cca339eae8353aea774)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt={\frac {1}{k-j}}\int \limits _{0}^{(k-j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k-j}}[\sin(t)]_{0}^{(k-j)\pi }=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419d81679a90da3d67ff84cd4d24027d225544de)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt={\frac {1}{k+j}}\int \limits _{0}^{(k+j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k+j}}[\sin(t)]_{0}^{(k+j)\pi }=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbdaa80b9ea34340a40ca8ac91f7871dd79cdc46)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle T_{k},T_{k}\rangle &={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[\cos((k-k)t)+\cos((k+k)t)]dt\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[1+\cos(2kt)]dt\\&={\frac {\pi }{2}}+\int \limits _{0}^{\pi }\cos(2kt)dt\\&={\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2k}}\int \limits _{0}^{2k\pi }\cos(t)dt\\&={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcafe798eec6ecfa9d7bd8c74930406a9711abe3)
![{\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant \max _{x\in [-1;1]}|{\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d61cfb09af7ca29354d3920de26305fc8c657a)
![{\displaystyle [-1;1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a3e49ab8c02de0537a72ea3548ea75ffa8a7d0)
![{\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant {\frac {1}{2^{k-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ded141907251816c191aa55f9d48726733f90f)
