Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia – zestaw tożsamości algebraicznych zawierających potęgi o wykładniku naturalnym oraz dodawanie i odejmowanie; wzory te zawierają wyrażenie algebraiczne takie jak:

• potęgi skończonych sum i różnic: $(a\pm b)^{n},\ (a_{1}\pm a_{2}\pm \dots \pm a_{k})^{n};$
• różnice dwóch potęg: $a^{n}-b^{n},$
• dla wykładników nieparzystych także sumy takich potęg: $a^{n}+b^{n}.$

Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy: $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.$

Najprostsze przykłady to te dla wykładnika dwa:

• kwadrat sumy i różnicy: $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2};$
• różnica kwadratów: $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).$

Wzory te zachodzą dla dowolnych liczb rzeczywistych, zespolonych i wszystkich innych pierścieni przemiennych, ponieważ wynikają z podstawowych własności działań jak przemienność, łączność i rozdzielność. Wzory skróconego mnożenia stosuje się w arytmetyce, algebrze i analizie; przykłady ich użycia to:

• przyspieszanie obliczeń, umożliwiające wykonanie pewnych działań arytmetycznych w pamięci;
• działania na pierwiastnikach, np.:
  • usuwanie niewymierności z mianowników – przekształcanie odwrotności takich wyrażeń, czyli ich minus pierwszej potęgi;
  • pierwiastkowanie ich – przekształcanie ich potęgi ułamkowej;
• przekształcenia równań kwadratowych i funkcji kwadratowych;
• dowodzenie nierówności;
• obliczanie granic ciągów.

Wzory te są standardowym elementem wykształcenia matematycznego na poziomie średnim; przykładowo znalazły się one w podstawie programowej polskich liceów i techników, także w zakresie podstawowym.

Wykładnik dwa – wzory z kwadratami

Kwadraty sum i różnic

Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy trzech liczb rzeczywistych

Dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi:

$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}.$

Przykłady zastosowań arytmetycznych – obliczanie:

• kwadratów liczb naturalnych:

${\begin{aligned}102^{2}&=(100+2)^{2}=100^{2}+2\cdot 100\cdot 2+2^{2}=\\&=10\ 000+400+4=10\ 404;\end{aligned}}$

${\begin{aligned}297^{2}&=(300-3)^{2}=300^{2}-2\cdot 300\cdot 3+3^{2}=\\&=90\ 000-1\ 800+9=88\ 209;\end{aligned}}$

• pierwiastków kwadratowych z pierwiastników:

${\begin{aligned}{\sqrt {17+12{\sqrt {2}}}}&={\sqrt {3^{2}+({\sqrt {8}})^{2}+2\cdot 6{\sqrt {2}}}}=\\&={\sqrt {3^{2}+2\cdot 3\cdot 2{\sqrt {2}}+(2{\sqrt {2}})^{2}}}=\\&={\sqrt {(3+2{\sqrt {2}})^{2}}}=3+2{\sqrt {2}};\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\sqrt {14-6{\sqrt {5}}}}&={\sqrt {3^{2}+{\sqrt {5}}^{2}-2\cdot 3{\sqrt {5}}}}=\\&={\sqrt {(3-{\sqrt {5}})^{2}}}=3-{\sqrt {5}}.\end{aligned}}$

Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech:

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc.$

Wzór ten można stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Po prawej stronie wzoru wystąpią wtedy kwadraty każdego ze składników w nawiasie oraz podwojone iloczyny każdej pary tych składników:

$\left(\sum \limits _{i=1}^{k}a_{i}\right)^{2}=\sum \limits _{i,j=1}^{k}a_{i}a_{j}.$

Różnice można przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku, np. $(a-b-c+d)^{2}=(a+(-b)+(-c)+d)^{2}.$

Wzory te mają także uogólnienie w przestrzeniach unitarnych, zwane tożsamością polaryzacyjną.

Różnice kwadratów

Graficzne uzasadnienie wzoru na różnicę kwadratów dwóch liczb rzeczywistych: $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.$

Różnica kwadratów dwóch liczb to iloczyn sumy tych liczb i ich różnicy:

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).$

Przykład zastosowania arytmetycznego – usuwanie niewymierności z mianownika:

${\begin{aligned}{\frac {2}{{\sqrt {11}}-3}}&={\frac {2({\sqrt {11}}+3)}{({\sqrt {11}}-3)({\sqrt {11}}+3)}}=\\&={\frac {2({\sqrt {11}}+3)}{11-3^{2}}}={\frac {2(3+{\sqrt {11}})}{2}}=\\&=3+{\sqrt {11}}.\end{aligned}}$

Sumy kwadratów

Analogiczna suma $a^{2}+b^{2}$ nie rozkłada się na wyrażenia rzeczywiste, jednak można rozłożyć ją na iloczyn liczb zespolonych:

$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi),$ gdzie $i$ to jednostka urojona.

Wykładnik trzy – wzory z sześcianami

Graficzne uzasadnienie wzoru na sześcian sumy

Sześcian sumy i różnicy:

$(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}.$

Suma i różnica sześcianów:

$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2}).$

Przykład zastosowania arytmetycznego – usuwanie niewymierności z mianownika:

${\begin{aligned}{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}-2}}&={\frac {{\sqrt[{3}]{9}}^{2}+2{\sqrt[{3}]{9}}+2^{2}}{({\sqrt[{3}]{9}}-2)({\sqrt[{3}]{9}}^{2}+2{\sqrt[{3}]{9}}+2^{2})}}=\\&={\frac {{\sqrt[{3}]{3^{4}}}+2{\sqrt[{3}]{9}}+4}{9-2^{3}}}=\\&=4+3{\sqrt[{3}]{3}}+2{\sqrt[{3}]{9}}.\end{aligned}}$

Wyższe wykładniki

Różnica czwartych potęg:

${\begin{aligned}a^{4}-b^{4}&=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=\\&=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})=\\&=(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})=\\&=(a+b)(a^{3}-a^{2}b+ab^{2}-b^{3}).\end{aligned}}$

Tożsamość Sophie Germain:

$a^{4}+4b^{4}=(a^{2}+2ab+2b^{2})(a^{2}-2ab+2b^{2}).$

Suma piątych potęg:

$a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}).$

Różnica piątych potęg:

$a^{5}-b^{5}=(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4}).$

Wzory ogólne

Potęgi sum i różnic

Potęga naturalna sumy dwóch składników to szczególny przypadek dwumianu Newtona:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}.$

$(a-b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

Potęga naturalna sumy dowolnej skończonej liczby składników to:

$\left(\sum \limits _{i=1}^{k}a_{i}\right)^{n}=\sum \limits _{m_{1},\dots ,m_{k}=0}^{n}{n \choose m_{1},\dots ,m_{k}}\prod \limits _{i=1}^{k}a_{i}^{m_{i}},$

gdzie ${n \choose m_{1},\dots ,m_{k}}={\frac {n!}{\prod \limits _{i=1}^{k}m_{i}!}}.$

Sumy i różnice potęg

Różnica dwóch potęg tego samego stopnia naturalnego to:

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1})$

Oprócz tego:

$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-\ldots -ab^{2n-1}+b^{2n})$

Bibliografia

• Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha, Dorota Ponczek, Jolanta Wesołowska: Matematyka 2. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum. Wydawnictwo Nowa Era, 2020. ISBN 978-83-267-3900-2.
• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Wyd. XXI. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-01460-1.