Zasadnicze twierdzenie algebry

Zasadnicze twierdzenie algebry, podstawowe twierdzenie algebry – wspólna nazwa dwóch blisko powiązanych twierdzeń algebry i analizy zespolonej:

• każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek;
• stopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego pierwiastków. Oznacza to, że każdy wielomian zespolony rozkłada się na czynniki liniowe – można go przedstawić jako ich iloczyn:

$f\in \mathbb {C} [X]\Rightarrow \exists a,z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {C} :f(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\dots (z-z_{n}).$

Drugie twierdzenie jest konsekwencją pierwszego i twierdzenia Bézouta. Oba można też wyrazić w języku algebry abstrakcyjnej: ciało liczb zespolonych $\mathbb {C}$ jest algebraicznie domknięte, a pierścień wielomianów zespolonych $\mathbb {C} [X]$ ma jednoznaczność rozkładu – należy do pierścieni Gaussa.

Twierdzenie to udowodnili na przełomie XVIII i XIX wieku Carl Friedrich Gauss i Jean-Robert Argand – ten pierwszy podał większość dowodu, a drugi go uzupełnił.

Uwaga

Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia $n$ może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej $n.$ Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z faktu, że granice niewłaściwe wielomianu rzeczywistego stopnia nieparzystego w $\pm \infty$ są różnych znaków, a także z faktu, że wielomian jako funkcja ciągła ma własność Darboux – a zatem musi przyjąć wartość pośrednią 0).

Historia

Przed Gaussem dowody twierdzenia ogłaszało co najmniej sześciu innych matematyków: Jean le Rond d’Alembert (1746), Leonhard Euler (1749), Daviet de Foncenex, Joseph Louis Lagrange (1772), Pierre Simon de Laplace (1812) i James Wood. Były one jednak niekompletne lub zawierały luki i dlatego nie zostały powszechnie uznane. W 1799 roku Carl Friedrich Gauss podał większość pierwszego poprawnego dowodu. Jego wywód również zawierał lukę, choć bardziej subtelną. Gauss podał później kilkanaście innych dowodów. W 1926 roku Emil Artin i Otto Schreier podali pierwsze dowody algebraiczne.

Nazwa twierdzenia pojawiła się najpóźniej w drugiej połowie XIX wieku.

O dowodach

Dowody zasadniczego twierdzenia algebry można dzielić na „algebraiczne” i „analityczne” (tzn. odwołujące się do wyników i pojęć analizy matematycznej, szczególnie do ciągłości). Z reguły „bardziej algebraiczne” dowody są dłuższe i bardziej skomplikowane. Oprócz tego, nawet w „najbardziej algebraicznych” dowodach nie potrafimy uniknąć stosowania niektórych twierdzeń analizy matematycznej, a więc dowód nie będzie „zupełnie algebraiczny”. Twierdzenia analizy zespolonej takie jak twierdzenie Liouville’a czy twierdzenie Rouchégo, znacznie upraszczają dowód zasadniczego twierdzenia algebry.

W poniższych dowodach będą stosowane następujące znane fakty:

• funkcje wielomianowe są ciągłe (na płaszczyźnie zespolonej);
• twierdzenie Weierstrassa: funkcja określona na przestrzeni zwartej o wartościach rzeczywistych osiąga swoje kresy, dokładniej jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą, a $f$ jest rzeczywistą funkcją ciągłą na $X,$ to istnieją takie punkty $a,b\in X,$ że

$f(a)=\min\{f(x):x\in X\}$

oraz

$f(b)=\max\{f(x):x\in X\}.$

• domknięte i ograniczone podzbiory płaszczyzny zespolonej są zwarte.

Dowód oparty na twierdzeniu Liouville’a

• Twierdzenie Liouville’a: ograniczona funkcja całkowita jest stała. Innymi słowy: jeżeli funkcja zespolona jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej i nie jest stała, to jest ona nieograniczona.

Niech $f$ będzie dowolnym wielomianem zespolonym stopnia dodatniego, tzn. wielomian $f$ nie jest funkcją stałą. Wiadomo, że wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej. Z twierdzenia Liouville’a wynika, że funkcja $f$ jest nieograniczona. Wówczas dla dowolnego $M>0$ istnieje takie $R>0,$ że w zewnętrzu okręgu $|z|=R$ (inaczej mówiąc, dla $|z|>R$) spełniona jest nierówność $|f(z)|>M.$ Niech $M$ i $R$ będą ustalonymi liczbami o tych własnościach.

Przypuśćmy, że wielomian $f$ nie ma żadnego pierwiastka zespolonego, tzn. $f(z)\neq 0$ dla każdej liczby zespolonej $z.$ Wówczas funkcja $g$ dana wzorem:

$g(z)={\frac {1}{f(z)}}$

jest określona na całej płaszczyźnie, a ponadto analityczna. Wówczas dla $|z|>R$ zachodzi nierówność:

$|g(z)|<{\frac {1}{M}},$

ponieważ $|f(z)|>M$ dla $|z|>R.$

Należy teraz rozpatrzeć, co dzieje się z wartościami funkcji $f$ w kole $|z|\leqslant R.$ Rozważmy funkcję

$z\mapsto |f(z)|,$

która przyjmuje wartości rzeczywiste. Ponieważ koło domknięte $|z|\leqslant R$ jest zbiorem zwartym, istnieje więc taki jego element $z_{0},$ że:

$|f(z_{0})|=\min\{|f(z)|:|z|\leqslant R\}>0.$

Wynika stąd, że:

$|g(z)|\leqslant {\frac {1}{|f(z_{0})|}}.$

Możemy tym samym oszacować funkcję $g$ na całej płaszczyźnie:

$|g(z)|\leqslant \max \left\{{\frac {1}{M}},\ {\frac {1}{|f(z_{0})|}}\right\}.$

Wówczas z twierdzenia Liouville’a wynika, że $g$ jest stała, ale wtedy:

$f(z)={\frac {1}{g(z)}}$

też jest stała, co jest sprzeczne z przypuszczeniem, a zatem wielomian $f$ ma pierwiastek zespolony.

Przykład innego dowodu

Wystarczy wykazać, że dla każdego wielomianu zespolonego

$v(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n},\;a_{0}\neq 0,\;a_{n}\neq 0,\;n\geqslant 1$

istnieje taka liczba zespolona $x_{0},$ że

$|v(x_{0})|=0.$

Lemat 1

Jeśli $v$ jest niezerowym wielomianem o współczynnikach zespolonych, to

$(\exists {r>0})(\forall {x\in \mathbb {C} })(|x|>r\Rightarrow |v(x)|>|v(0)|=|a_{0}|)$

Dowód

Niech

$v(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}.$

Wówczas

${\begin{array}{lcl}|v(x)|&=&|x|^{n}|a_{n}+a_{n-1}({\tfrac {1}{x}})+\ldots +a_{1}({\tfrac {1}{x}})^{n-1}+a_{0}({\tfrac {1}{x}})^{n}|\\&=&|x|^{n}|a_{n}+w(x)|\end{array}},$

gdzie:

$w(y)=a_{n-1}y+\ldots +a_{0}y^{n}.$

Z ciągłości funkcji wielomianowej $w$ oraz faktu, że $w(0)=0,$ dla pewnego $R>0$ spełniony jest warunek

$|w(y)|<{\frac {|a_{n}|}{2}}$

o ile tylko $|y|<R.$ Stąd, jeśli

${\frac {1}{|y|}}>{\frac {1}{R}},$

to

$\left|w\left({\tfrac {1}{y}}\right)\right|>{\tfrac {|a_{n}|}{2}}.$

Podstawiając $y={\tfrac {1}{x}},$ dostajemy

$|w(x)|>{\tfrac {|a_{n}|}{2}}$

dla wszystkich $|x|>{\tfrac {1}{R}}.$

Ostatecznie:

${\begin{array}{lcl}|v(x)|&=&|x|^{n}|a_{n}+a_{n-1}({\tfrac {1}{x}})+\ldots +a_{1}({\tfrac {1}{x}})^{n-1}+a_{0}({\tfrac {1}{x}})^{n}|\\&\geqslant &|x|^{n}(|a_{n}|-|a_{n-1}({\tfrac {1}{x}})+\ldots +a_{1}({\tfrac {1}{x}})^{n-1}+a_{0}({\tfrac {1}{x}})^{n}|)\\&\geqslant &{\frac {|a_{n}|}{2}}|x|^{n}\end{array}},$

oraz

${\frac {|a_{n}|}{2}}|x|^{n}>|a_{0}|,$

gdy

$|x|>{\sqrt[{n}]{\tfrac {2|a_{0}|}{|a_{n}|}}}.$

Istnieje więc takie $r>0,$ że teza lematu jest spełniona, mianowicie:

$r=\max \left\{{\frac {1}{R}},{\sqrt[{n}]{\tfrac {2|a_{0}|}{|a_{n}|}}}\right\}.$

Lemat Cauchy’ego

Dla każdego wielomianu $v$ o współczynnikach zespolonych, dla którego $v(0)\neq 0,$ istnieje taka liczba $r>0,$ że minimum funkcji $|v(x)|$ jest osiągnięte w kole $|x|\leqslant r.$

Dowód

Niech

$v(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n},$

przy czym $a_{0}\neq 0.$ Niech ponadto

$r=\max \left\{{\frac {1}{R}},{\sqrt[{n}]{\tfrac {2|a_{0}|}{|a_{n}|}}}\right\}.$

Wówczas z Lematu 1 wynika, iż poza kołem $|x|\leqslant r$ spełniona jest nierówność $|v(x)|>|a_{0}|.$ Ponieważ koło $|x|\leqslant r$ jest zbiorem zwartym, funkcja $|v(x)|$ przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego $x_{0}$ spełniającego $|x_{0}|\leqslant r.$ W szczególności, $|v(x_{0})|>|a_{0}|.$ Zatem $x_{0}$ jest również minimum globalnym funkcji $|v(x)|.$

Lemat 2

Niech $p$ będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych, spełniającym warunek $p(0)\neq 0$ oraz niech $k$ będzie dowolną liczbą naturalną. Wówczas dla każdej niezerowej liczby zespolonej $a$ istnieje taka liczba zespolona $b,$ że

$|a+b^{k}p(b)|<|a|.$

Dowód

Niech $p$ i $k$ będą takie jak wyżej. Z ciągłości funkcji wielomianowej $p$ wynika, iż istnieje takie $\delta >0,$ że

$|p(x)-p(0)|<{\tfrac {|p(0)|}{2}}$

o ile $|x|<\delta .$ Niech $a$ będzie niezerową liczbą zespoloną. Wówczas

${\begin{array}{lcl}|a+x^{k}p(x)|&\leqslant &|a+x^{k}p(0)|+|x|^{k}|p(x)-p(0)|\\&\leqslant &|a+x^{k}p(0)|+{\frac {|x|^{k}|p(0)|}{2}}.\end{array}}$

Niech $b\in \mathbb {C} ,$ wówczas

$p(0)b^{k}=-ta$ dla $0<t<1.$

Dla każdego $t>0$ istnieje $b,$ które spełnia powyższą równość.

$|a+p(0)b^{k}|=|a-ta|=(1-t)|a|$

${\frac {|p(0)||b|^{k}}{2}}={\frac {t|a|}{2}}$

Jeżeli $b$ jest takie, że $|b|<\delta$ to:

$|a+b^{k}p(b)|\leqslant (1-t)|a|+{\tfrac {t|a|}{2}}=(1-{\tfrac {t}{2}})|a|<|a|$

i twierdzenie zachodzi, ale żeby było $|b|<\delta ,$ to musi być $|b|^{k}<\delta ^{k},$ czyli:

$|p(0)|\,|b|^{k}=t|a|<|p(0)|\,|\delta |^{k}\implies t<{\frac {|p(0)|\delta ^{k}}{|a|}}.$

Lemat d’Alemberta-Arganda

Niech $v$ będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego, który spełnia warunek $v(0)=a_{0}\neq 0.$ Dla każdej liczby zespolonej $x_{0},$ dla której $|v(x_{0})|>0,$ istnieje taka liczba $y_{0},$ że

$|v(y_{0})|<|v(x_{0})|.$

Dowód

$v(x+x_{0})=a_{0}+a_{1}(x+x_{0})+\ldots +a_{n}(x+x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}x_{0}+\ldots +a_{n}x_{0}^{n}+x^{k}w(x)=v(x_{0})+x^{k}w(x),$

przy czym $w(0)\neq 0.$ Z Lematu 2 wynika, że istnieje taka liczba zespolona $b,$ iż

$|v(x_{0})+b^{k}w(b)|<|v(x_{0})|,$

czyli

$|v(x_{0}+b)|<|v(x_{0})|.$

Przyjmując $y_{0}=b+x_{0}$ otrzymuje się tezę.

Dowód zasadniczego twierdzenia algebry

Z lematu Cauchy’ego i d’Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że $v\in \mathbb {C} [x]$ i nie istnieje takie $x\in \mathbb {C} ,$ że $|v(x)|=0.$ Wówczas z lematu Cauchy’ego wiemy, że istnieje taki promień $r,$ że minimum globalne $|v(x)|$ jest przyjęte w kole $\{x:|x|\leqslant r\}$ dla pewnego $x_{0}.$ Założyliśmy jednak, że $|v(x)|$ jest zawsze większe od $0,$ a wtedy z lematu d’Alemberta-Arganda wynika, że istnieje $y_{0}\in \mathbb {C}$ takie, że $|v(y_{0})|<|v(x_{0})|,$ co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie $x_{0}$ funkcja $|v(x)|$ przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być $|v(x_{0})|=0.$

Zobacz też

• zasadnicze twierdzenie arytmetyki
• twierdzenie Abela-Ruffiniego

Bibliografia

• Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 105.

Źródła historyczne

• Augustin Louis Cauchy: Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique. Wyd. 1992. Paris: Éditions Jacques Gabay, 1821. ISBN 2-87647-053-5.brak strony w książce
• Leonhard Euler: Recherches sur les racines imaginaires des équations. T. 5. Berlin: 1751, s. 222–288, seria: Histoire de l’Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin.
• Carl Friedrich Gauss: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Helmstedt: C. G. Fleckeisen, 1799.brak strony w książce
• C. F. Gauss, “Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree”, 1815
• HellmuthH. Kneser HellmuthH., Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus, t. 46, Mathematische Zeitschrift, 1940, s. 287–302, ISSN 0025-5874 .
• MartinM. Kneser MartinM., Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra, t. 177, Mathematische Zeitschrift, 1981, s. 285–287, ISSN 0025-5874 .
• Karl Weierstrass: Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen. 1891, s. 1085–1101.
• Jeff Suzuki. Lagrange’s Proof of the Fundamental Theorem of Algebra. „The Matematical Association Of America Monthly”. 113, s. 705–714, October 2006. 

Linki zewnętrzne

• TomaszT. Idziaszek TomaszT., Kolorowanie wielomianów, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, październik 2008, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19]  (pol.). – inny dowód twierdzenia.
• Piotr Stachura, Zasadnicze Twierdzenie Algebry, kanał „Khan Academy po polsku” na YouTube, 17 sierpnia 2017 [dostęp 2023-08-06].