Formuła logiczna: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobna rozbudowa (reorganizacja materialu, dodatki) |
drobne merytoryczne, drobne redakcyjne |
||
Linia 12:
===Formalna definicja===
Niech <math>\tau</math> będzie ustalonym alfabetem, czyli zbiorem '''stałych''', '''[[symbol funkcyjny|symboli funkcyjnych]]''' i '''[[symbol relacyjny|symboli relacyjnych]]''' ('''predykatów'''). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną [[Argumentowość|arność]] (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Niech <math>x_0,x_1,\ldots</math> będzie nieskończoną listą '''zmiennych'''.
Przypomnijmy, że '''termy''' języka <math>{\mathcal L}(\tau)</math> to elementy najmniejszego zbioru <math>{\bold T}</math> takiego, że:
Linia 19:
'''Formuły''' języka <math>{\mathcal L}(\tau)</math> są wprowadzane przez indukcję po ich złożoności jak następuje:
*jeśli <math>t_1, t_2\in {\bold T}</math>, to wyrażenie <math>t_1= t_2</math> jest formułą (tzw formuła atomową),
*jeśli <math>t_1,\ldots,t_n\in {\bold T}</math> zaś <math>P\in\tau</math> jest <math>n</math>-arnym symbolem relacyjnym, to wyrażenie <math>P(t_1,\ldots,t_n)</math> jest formułą (tzw formuła atomową),
*jeśli <math>\varphi,\psi
*jeśli <math>x_i</math> jest zmienną oraz <math>\varphi</math> jest formułą, to także <math>(\exists x_i)(\varphi)</math> i <math>(\forall x_i)(\varphi)</math> są formułami.
===Zmienne wolne w formule===
W formułach postaci <math>(\exists x_i)(\varphi)</math> i <math>(\forall x_i)(\varphi)</math> mówimy że zmienna <math>x_i</math> znajduje się w zasięgu [[kwantyfikator]]a i jako taka jest '''związana'''. Przez indukcję po złożoności formuł, rozszerzamy to pojęcie na wszystkie formuły w których <math>(\exists x_i)(\varphi)</math> czy też <math>(\forall x_i)(\varphi)</math> pojawia się jako jedna z części użytych w budowie, ale ograniczamy się do występowań zmiennej <math>x_i</math> w <math>\varphi</math> (i mówimy że konkretne wystąpienie zmiennej jest wolne lub związane). Bardziej precyzyjnie:
*każde wystąpienie zmiennej <math>x_i</math> w formule atomowej jest wolne,
*jeśli <math>\psi</math> to formuła postaci <math>(Qx_i)(\phi)</math>, to każde wystąpienie zmiennej <math>x_i</math> w formule <math>\psi</math> jest związane,
*jeśli <math>\psi,\varphi</math> to formuły i pewne wystąpienie zmiennej <math>x_i</math> w formule <math>\psi</math> jest związane (wolne, odpowiednio), to wystąpienie to rozważane w formułach <math>\varphi*\psi</math>, <math>\psi*\varphi</math> oraz <math>\neg \psi</math> także jest związane (wolne, odpowiednio; tutaj * jest binarnym spójnikiem zdaniowym).
Formuły w których nie ma wolnych występowań żadnych zmiennych są nazywane [[Zdanie logiczne|zdaniami]] (danego języka).
===Przykłady===
|