Zbieżność prawie wszędzie: Różnice pomiędzy wersjami

integracja
(drobne redakcyjne; propozycja integracji (to samo pojęcie w dwóch różnych ujęciach/językach))
(integracja)
'''Zbieżność prawie wszędzie''' ciągu funkcji względem (pewnej) [[miara (matematyka)|miary]] to rodzaj zbieżności [[ciąg funkcyjny|ciągów funkcyjnych]] rozważany w [[teoria miary|teorii miary]] i [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]]. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W [[teoria prawdopodobieństwa|teorii prawdopodobieństwa]] i [[statystyka|statystyce]] znane jest ono pod nazwą '''zbieżność z prawdopodobieństwem 1'''.
{{integruj|Zbieżność z prawdopodobieństwem 1}}
'''Zbieżność prawie wszędzie''' ciągu funkcji względem (pewnej) [[miara (matematyka)|miary]] to rodzaj zbieżności [[ciąg funkcyjny|ciągów funkcyjnych]] rozważany w [[teoria miary|teorii miary]] i [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]]. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku.
 
==Definicja==
;Teoria miary
Niech <math>(X,\mathfrak{M},\mu)</math> będzie [[Przestrzeń mierzalna|przestrzenią mierzalną]] z [[Miara (matematyka)|miarą]] (tak więc w szczególności <math>\mu\colon\mathfrak{M}\longrightarrow [0,\infty]</math>) oraz niech <math>(Y,d)</math> będzie [[Przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]]. Przypuśćmy, że <math>A\in\mathfrak{M}</math> oraz <math>f_n, f\colon A\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}Y</math>.
 
Mówimy, że ciąg <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest '''prawie wszędzie zbieżny do funkcji''' <math>f\;</math> (względem miary <math>\mu\;</math> na zbiorze <math>A\;</math>), wtedy i tylko wtedy, gdy można znaleźć zbiór <math>B\subseteq A</math>, <math>B\in \mathfrak{M}</math> taki że <math>\mu(A\setminus B)=0 </math> oraz
Formułując tę definicję inaczej, powiemy że ciąg funkcji <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji ''f'', jeśli jest on [[Zbieżność punktowa ciągu funkcji|zbieżny punktowo]] do funkcji ''f'' ''poza zbiorem miary <math>\mu</math> zero''.
 
;Statystyka
==Twierdzenia o zbieżności prawie wszędzie==
W statystyce, rozważamy '''zbieżność z prawdopodobieństwem 1''' dla ciągów ciąg [[zmienna losowa|zmiennych losowych]] <math>X_n</math>. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych <math>\{X_n\}_{n\in {\mathbb N}}</math> '''dąży z prawdopodobieństwem <math>1</math>''' do zmiennej losowej <math>X</math>, przy <math>n</math> dążącym do nieskończoności, jeśli <math>P\{\omega:X_{n}(\omega)\to X(\omega)\}= 1\,</math>. Jest to więc to samo pojęcie co zdefiniowane w języku miary powyżej.
* Każdy ciąg [[zbieżność prawie jednostajna|zbieżny prawie jednostajnie]] jest zbieżny prawie wszędzie i [[zbieżność według miary|według miary]] (do tej samej funkcji).
 
==Własności==
* Każdy ciąg [[zbieżność prawie jednostajna|zbieżny prawie jednostajnie]] jest zbieżny prawie wszędzie i [[zbieżność według miary|według miary]] (do tej samej funkcji).
* Jeśli miara <math>\mu</math> jest [[Miara półskończona|&sigma;-skończona]] oraz ciąg <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest <math>\mu</math>-prawie wszędzie zbieżny do funkcji <math>f</math>, to ciąg ten jest zbieżny [[Zbieżność według miary|według miary]] (do tej samej funkcji).
* W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on [[zbieżność według prawdopodobieństwa|zbieżny według prawdopodobieństwa]].
 
== Zobacz też ==
3518

edycji