Inwolucja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 19 bajtów ,  13 lat temu
m
robot poprawia: fr:Involution (mathématiques); zmiany kosmetyczne
m (robot dodaje: eo:Involucio)
m (robot poprawia: fr:Involution (mathématiques); zmiany kosmetyczne)
Ogólniej, w [[teoria kategorii|teorii kategorii]] morfizm&nbsp; <math>i : X \rightarrow X</math> &nbsp;nazywamy inwolucją lub morfizmem inwolucyjnym, gdy&nbsp; <math>i \circ i = 1_X</math>.
 
== Własności ==
*Każda inwolucja jest [[bijekcja|bijekcją]] (każdy morfizm-inwolucja jest izomorfizmem).
*n-krotne złożenie inwolucji dla parzystych ''n'' jest tożsamością:
dla dowolnego <math>x\;</math> z dziedziny <math>f\;</math>.
 
Podobnie &nbsp; <math>i^{2\cdot n} = 1_X</math> &nbsp; oraz &nbsp; <math>i^{2\cdot n+1} = i</math> &nbsp; &nbsp; dla dowolnego morfizmu inwolucyjnego&nbsp; <math>i : X \rightarrow X</math>.
 
* Niech &nbsp;X oraz Y&nbsp; będą dowolnymi zbiorami. Niech&nbsp; F := F(X, Y) &nbsp; bedzie zbiorem wszystkich funckcji zbioru&nbsp; X&nbsp; w zbiór&nbsp; Y. Niech&nbsp; s : Y → Y &nbsp; będzie inwolucją. Wtedy funkcja&nbsp; S : F → F, dana wzorem:
Powyższe dwie własności zachodzą ogólnie dla morfizmów w dowolnej kategorii.
 
== Przykłady ==
*Trywialnym przykładem inwolucji jest [[przekształcenie tożsamościowe]].
*Involucją jest funkcja&nbsp; s : A × A → A × A,&nbsp; kwadratu kartezjańskiego zbioru A w siebie, dana wzorem:
*W [[geometria|geometrii]] inwolucjami są [[symetria|symetrie]] (osiowa, środkowa) oraz [[inwersja (geometria)|inwersja]]
*W rachunku zbiorów inwolucją jest [[dopełnienie zbioru]].
*W rachunku zbiorów [[różnica symetryczna]] z ustalonym zbiorem. (bo <math>(A \dot{-} B)\dot{-} B = A </math>).&nbsp; Warunek ten jest często wykorzystywany w informatyce.
*W informatyce inwolucją jest szyfr [[Rot13]].
*W zbiorze liczb zespolonych (a także [[kwaterniony|kwaternionów]]) inwolucją jest [[Liczba sprzężona|sprzężenie]].
'''Twierdzenie''' (''Bourbaki''). Każda izometria ''n''-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest złożeniem co najwyżej ''n''+1 symetrii zwierciadlanych.
 
Złożenia parzystej liczby izometrii zwierciadlanych zachowują orientację przestrzeni euklidesowej, a nieparzystej liczby &ndash; zmieniają.
 
Inwolucje są obiektem głębikich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład <ref>S.López de Medrano, ''Involutions on Manifolds'', Springer-Verlag, 1971.</ref>.
 
== Teoria grup ==
Inwolucją nazywamy element [[rząd (teoria grup)|rzędu]] dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu 1 czyli element neutralny).
 
{{przypisy}}
 
== Zobacz też ==
* [[działanie grupy na zbiorze]].
 
[[en:Involution]]
[[eo:Involucio]]
[[fr:Involution (mathématiques)]]
[[it:Involuzione (teoria degli insiemi)]]
[[nl:Involutie (wiskunde)]]
2 989 096

edycji